Em um circuito RLC série, a corrente está atrasada de 30^{\circ} em relação a tensão aplicada. A tensão em L tem para valor máximo o dobro do valor máximo da tensão no capacitor e v_{L}(t)=10 sen 1000 t Volts. Se o valor de R é 20ohms, determinar os valores de L e de C. R : L=0,023 H e C=86,6 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado nos dá isto (dados extraídos do enunciado):
  • Resistência R=20\\ \Omega.
  • A corrente está atrasada de 30^\circ em relação à tensão aplicada.
  • A tensão no indutor é v_{L}(t)=10\\ \sin(1000\,t) volts, ou seja, a amplitude (valor máximo) da tensão no indutor é V_{L,\text{max}}=10\\ \text{V} e a pulsação é \omega=1000\\ \text{rad/s}.
  • A tensão máxima no indutor é o dobro da tensão máxima no capacitor, ou seja V_{L,\text{max}} = 2\,V_{C,\text{max}}.
O que se pede:
  • Determinar o indutância L.
  • Determinar a capacitância C.

Passo 2

Entendendo o modelo (fórmulas e conceitos que vamos usar).
  • Em regime senoidal, o circuito RLC série tem uma impedância total
Z = R + j\left(X_L - X_C\right),
onde X_L é a reatância indutiva e X_C é a reatância capacitiva.
  • A reatância indutiva é definida por
X_L = \omega L,
com \omega em \text{rad/s} e L em henrys (H).
  • A reatância capacitiva (magnitude) é
X_C = \frac{1}{\omega C},
com C em farads (F).
  • O ângulo de fase entre a tensão aplicada V e a corrente I é dado por
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right).
Por convensão: se a corrente está atrasada de 30^\circ em relação à tensão, então a tensão “vence” a corrente por 30^\circ, isto é \varphi=+30^\circ.
  • A razão entre as amplitudes das tensões nos elementos reativos é igual à razão entre suas reatâncias, porque ambos têm a mesma corrente em série:
\frac{V_{L,\text{max}}}{V_{C,\text{max}}}=\frac{X_L}{X_C}.

Passo 3

Usar o ângulo dado para obter uma relação entre X_L e X_C.
  • Como \varphi=30^\circ,
\tan 30^\circ = \frac{X_L - X_C}{R}.
  • Sabendo que \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, obtemos
X_L - X_C = R\cdot \tan 30^\circ = 20\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}}\\ \Omega.

Passo 4

Usar a relação entre as tensões nos reativos (dado V_{L,\text{max}}=2V_{C,\text{max}}).
  • Pela relação de amplitudes:
\frac{V_{L,\text{max}}}{V_{C,\text{max}}} = \frac{X_L}{X_C} = 2.
  • Portanto
X_L = 2\,X_C.

Passo 5

Resolver o sistema para X_L e X_C.
  • Substituindo X_C = X_L/2 na expressão de X_L - X_C:
X_L - \frac{X_L}{2} = \frac{X_L}{2} = \frac{20}{\sqrt{3}}.
  • Logo
X_L = \frac{40}{\sqrt{3}}\\ \Omega.
  • E
X_C = \frac{X_L}{2} = \frac{20}{\sqrt{3}}\\ \Omega.
  • Cálculo numérico aproximado:
\frac{40}{\sqrt{3}}\approx 23{,}094\\ \Omega,\qquad \frac{20}{\sqrt{3}}\approx 11{,}547\\ \Omega.

Passo 6

Encontrar L e C usando \omega=1000\\ \text{rad/s}.
  • Para L:
L=\frac{X_L}{\omega}=\frac{\tfrac{40}{\sqrt{3}}}{1000}=\frac{40}{1000\sqrt{3}}\\ \text{H}.
Cálculo numérico:
L\approx \frac{23{,}094}{1000}=0{,}023094\\ \text{H}\approx 0{,}023\\ \text{H}.
  • Para C:
C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{1000\cdot \tfrac{20}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{20\,000}\\ \text{F}.
Cálculo numérico:
C\approx \frac{1}{1000\cdot 11{,}547}=8{,}659\times 10^{-5}\\ \text{F}=86{,}59\times 10^{-6}\\ \text{F}\approx 86{,}6\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência):
  • Corrente de pico calculada por I_{\text{max}}=V_{L,\text{max}}/X_L:
I_{\text{max}}=\frac{10}{23{,}094}\approx 0{,}433\\ \text{A}.
  • Então V_{C,\text{max}}=I_{\text{max}} X_C\approx 0{,}433\cdot 11{,}547\approx 5\\ \text{V}, e realmente V_{L,\text{max}}=10\\ \text{V}=2\cdot 5\\ \text{V}, consistente com o enunciado.

Resposta

L=0{,}023\\ \text{H}
C=86{,}6\\ \mu\text{F}

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