Um circuito série constituído de \mathrm{R}=5 \Omega, \mathrm{~L}=0,02 \mathrm{H} e \mathrm{C}=80 \mu F tem uma tensão senoidal aplicada de freqüência variável. Achar os valores de W para os quais a corrente:
Esteja avançada de 45^{\circ} em relação à tensão

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de \omega (frequência angular) para os quais a corrente em um circuito série R\!-\!L\!-\!C está adiantada de 45^\circ em relação à tensão.
Dados fornecidos:
  • R=5\\ \Omega.
  • L=0{,}02\\ \mathrm{H}.
  • C=80\\ \mu\mathrm{F}=80\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • A tensão é senoidal de frequência variável (ou seja, \omega é a incógnita).

Passo 2

Entendendo o que significa "corrente avançada de 45^\circ":
  • Num circuito série R\!-\!L\!-\!C, a impedância complexa total é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr),
onde X_L=\omega L é a reatância indutiva e X_C=\dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva.
  • A corrente na forma fasorial é I=\dfrac{V}{Z}. O ângulo de fase da corrente em relação à tensão é -\arg(Z) (pois I tem a fase de V menos a fase de Z).
  • Se a corrente está adiantada de 45^\circ em relação à tensão, isso significa que a diferença de fase é +45^\circ: \varphi_I-\varphi_V=+45^\circ. Como \varphi_I=-\arg(Z), temos
-\arg(Z)=45^\circ \quad\Rightarrow\quad \arg(Z)=-45^\circ.
  • Portanto queremos os \omega tais que a impedância tenha argumento -45^\circ. Para a impedância em forma retangular isso equivale a
\tan\bigl(\arg(Z)\bigr)=\frac{X_L-X_C}{R}=\tan\bigl(-45^\circ\bigr)=-1.

Passo 3

Traduzindo a condição para uma equação em \omega:
\frac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R} = -1.
Multiplicando por R e reorganizando:
\omega L - \frac{1}{\omega C} = -R.
Multiplicando por \omega (assumindo \omega\neq0):
\omega^2 L + R\omega - \frac{1}{C} = 0.
Esta é uma equação quadrática em \omega.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (peguei C=80\times10^{-6}\\ \mathrm{F} dos dados):
  • L=0{,}02.
  • R=5.
  • \dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{80\times10^{-6}}=12500.
A equação fica
0{,}02\,\omega^2 + 5\,\omega - 12500 = 0.
Para facilitar, divido tudo por 0{,}02:
\omega^2 + 250\,\omega - 625000 = 0.

Passo 5

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\omega = \frac{-250 \pm \sqrt{250^2 - 4\cdot 1 \cdot (-625000)}}{2}.
Calcular o discriminante:
\Delta = 250^2 + 4\cdot625000 = 62500 + 2500000 = 2562500.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}\approx 1600{,}781059.

Passo 6

Agora as duas raízes:
\omega_1 = \frac{-250 + 1600{,}781059}{2}\approx \frac{1350{,}781059}{2}\approx 675{,}39053\\ \text{rad/s},
\omega_2 = \frac{-250 - 1600{,}781059}{2}\approx \frac{-1850{,}781059}{2}\approx -925{,}39053\\ \text{rad/s}.

Passo 7

Interpretação física: \omega é frequência angular e deve ser não negativa. A raiz negativa não tem sentido físico para frequência positiva no contexto usual, logo descartamos \omega_2. Portanto a solução física é
\omega \approx 675{,}39\\ \text{rad/s}.

Resposta

\omega \approx 675{,}39\\ \text{rad/s}

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