Em um circuito, de período é igual a 20,00 ms e indutância é igual a 40,00 mH, a amplitude decrescente 10,00% a cada ciclo.
a) Qual o valor da resistência? (0.4214 Omega )
b) Qual a frequência de ressonância desse circuito? ( 50,01 Hz )
c) Qual a frequência desse circuito? ( 50,00 Hz )
OBS: Por essa razão é possível considerar omegaA=omega para pequenos amortecimentos.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC em regime amortecido, com período T=20,00 ms e indutância L=40,00 mH. A cada ciclo a amplitude decresce 10 %, isto é, a razão entre amplitudes sucessivas é 0,90. Vamos usar a teoria de oscilações amortecidas em série, onde a envoltória decai como exp(-alpha t) com alpha=R/(2L), o período T está relacionado à frequência amortecida omegad=2pi/T e a frequência de ressonância (não amortecida) omega0 satisfaz
omegad=raizomega0^2-alpha^2,

Passo 2

Para achar o coeficiente de amortecimento alpha usamos a razão de amplitudes por ciclo:
e^-alpha T=0,90 Longrightarrow alpha=-1Tln(0,90)
Como T=20,00 ms=0,02 s,
alpha=-10,02ln(0,90)approx5,2680 s^-1

Passo 3

Em série, alpha=R/(2L), logo
R=2L,alpha =2cdot0,04 H;cdot5,2680 s^-1 approx0,42144 Omega,
ou seja,
Rapprox0,4214 Omega

Passo 4

A frequência angular amortecida é
omegad=2piT=2pitimes50,00 Hz=100pi rad/s
Para obter a frequência de ressonância não amortecida omega0, usamos
omega0=raizomegad^2+alpha^2 =raiz(100pi)^2+(5,2680)^2 rad/s approx314,202 rad/s
Assim,
f0=omega02piapprox314,2022piapprox50,01 Hz

Passo 5

A frequência do circuito correspondente ao período dado é
f=1T=10,02 s=50,00 Hz

Resposta

a) Rapprox0,4214 Omega
b) f0approx50,01 Hz
c) f=50,00 Hz

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