Três ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda muito comprida. Suas equações são dadas por:
y1 & =0,020 sin (0,040 pi x-3,0 pi t) y2 & =0,040 sin (0,040 pi x-3,0 pi t+pi / 3) y3 & =0,020 sin (0,040 pi x-3,0 pi t+4 pi / 3)
(Unidades no SI) Determine a expressão da onda resultante, formada pela superposição de y1, y2 e y3.

Passo 1

O enunciado dá três ondas transversais que se propagam na mesma corda, com a mesma forma de fase
theta = 0,040pi x - 3,0pi t, mas com amplitudes e defasagens diferentes:
y1 = 0,020 sin(theta), y2 = 0,040 sinl(theta + tfracpi3r), y3 = 0,020 sinl(theta + tfrac4pi3r)
O conteúdo envolvido é soma de senóides de mesma frequência e número de onda, que se faz via representação fasorial. Vamos somar as fasores correspondentes e voltar à forma no tempo.

Passo 2

Associamos a cada termo um fasor Ai e^jvarphii, de modo que
yi = ImlAi e^j(theta+varphii)r
Aqui
A1=0,020, varphi1=0, A2=0,040, varphi2=tfracpi3, A3=0,020, varphi3=tfrac4pi3
O fasor resultante é
S = A1e^jvarphi1+A2e^jvarphi2+A3e^jvarphi3

Passo 3

Calculamos as partes real e imaginária de S. Usando
,e^jpi/3=tfrac12+jtfracraiz32 e
,e^j4pi/3=-tfrac12 - jtfracraiz32, temos
Re(S) =0,020cdot1 + 0,040cdottfrac12 + 0,020cdotl(-tfrac12r) =0,030,
Im(S) =0 + 0,040cdottfracraiz32 + 0,020cdotl(-tfracraiz32r) =0,010raiz3 approx0,01732

Passo 4

A amplitude resultante é
R = |S| = raizl(Re(S)r)^2 + l(Im(S)r)^2 = raiz0,030^2 + (0,010raiz3)^2 =0,02raiz3 approx0,03464
A defasagem de<a vem de
tande<a = Im(S)Re(S) = 0,010raiz30,030 = raiz33 ;Longrightarrow; de<a = tfracpi6

Passo 5

Logo, a onda resultante é
y = R ,sinl(theta + de<ar) = 0,02raiz3 ;sin!l(0,040pi x - 3,0pi t + tfracpi6r)

Resposta

y = 0,02raiz3 ,sinl(0,040pi x - 3,0pi t + tfracpi6r).

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