y^prime prime+3 y^prime+4 y=9 cos 4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 4y = 9cos(4x)
O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular do não‐homogêneo, e por fim somamos as duas.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' + 3y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r + 4 = 0
As raízes são
r = -3 pm raiz9 - 162 = -3 pm iraiz72
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = e^-32x(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr))

Passo 3

Para a parte particular usamos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
Agrupando cossenos e senos dá
que deve ser igual a
Isto gera o sistema
Dividindo por 12:
Da segunda equação
Portanto

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma de yh com yp:
y(x) = e^-32x(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr)) ;-;tfrac38cos(4x) + tfrac38sin(4x)

Resposta

y(x) = e^-32x(C1cosl(tfracraiz72xr) + C2sinl(tfracraiz72xr)) ;-;tfrac38cos(4x) + tfrac38sin(4x)

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