Uma função definida em um subconjunto do é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva tal que .
(a) Mostre que uma função Lipschitziana é contínua em todos os pontos do seu domínio.
(b) Mostre que a função definida em e é Lipschitziana.
(c) Mostre que, se e são Lipschitzianas, então a função composta é Lipschitziana.
Passo 1
O enunciado trata de funções Lipschitzianas em espaços métricos. Precisamos usar a definição: uma função é Lipschitziana em se existe tal que
Com isso vamos mostrar:
(a) Lipschitz continuidade;
(b) provar que é Lipschitz em ;
(c) composição de Lipschitzianas é Lipschitziana.
Passo 2
Para (a), seja Lipschitziana com constante . Dado um ponto e um , escolha
Então, sempre que , temos
Isso é exatamente a definição de continuidade de em . Como era arbitrário, é contínua em todo o domínio.
Passo 3
Para (b), tomemos dois pontos e em . Então
Usamos que em Omega temos |x1+x2|<=4 e |y1+y2|<=4, e que ,|x1-x2|+|y1-y2|<=raiz2,|(x1,y1)-(x2,y2)|.
Logo f é Lipschitziana com constante L=4raiz2.
Passo 4
Para (c), sejam Lipschitziana com constante e Lipschitziana com constante . Então, para quaisquer ,
Isto mostra que satisfaz a desigualdade de Lipschitz com constante , logo é Lipschitziana.
Resposta
(a) Qualquer função Lipschitziana é contínua, pois basta escolher de<a=varepsilon/L.
(b) A função f(x,y)=x^2+y^2 em (x,y)mid|x|<=2,|y|<=2 é Lipschitziana com constante L=4raiz2.
(c) A composição de duas Lipschitzianas de constantes Lf e Lg é Lipschitziana com constante Lg,Lf.