Uma função f: Omega R definida em um subconjunto Omega do R^n é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva L tal que |f(u)-f(v)| <= L|u-v| forall u, v in Omega.
(a) Mostre que uma função Lipschitziana é contínua em todos os pontos do seu domínio.
(b) Mostre que a função f(x, y)=x^2+y^2 definida em Omega=(x, y) in R^2| | x mid <= 2 e |y| <= 2 é Lipschitziana.
(c) Mostre que, se f: Omega R e g: R R são Lipschitzianas, então a função composta g circ f é Lipschitziana.

Passo 1

O enunciado trata de funções Lipschitzianas em espaços métricos. Precisamos usar a definição: uma função f é Lipschitziana em Omega se existe L>0 tal que
|f(u)-f(v)| <= L|u-v|forall u,vinOmega
Com isso vamos mostrar:
(a) Lipschitz Rightarrow continuidade;
(b) provar que f(x,y)=x^2+y^2 é Lipschitz em Omega=(x,y)mid|x|<=2,|y|<=2;
(c) composição de Lipschitzianas é Lipschitziana.

Passo 2

Para (a), seja f Lipschitziana com constante L. Dado um ponto vinOmega e um varepsilon>0, escolha
de<a = varepsilonL
Então, sempre que |u - v| < de<a, temos
|f(u)-f(v)| <= L|u-v| < Lde<a = varepsilon
Isso é exatamente a definição de continuidade de f em v. Como v era arbitrário, f é contínua em todo o domínio.

Passo 3

Para (b), tomemos dois pontos u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em Omega. Então
|f(u)-f(v)| &= l|x1^2+y1^2 - (x2^2+y2^2)r| &= l|(x1-x2)(x1+x2) + (y1-y2)(y1+y2)r| &<= |x1-x2|,|x1+x2| + |y1-y2|,|y1+y2| &<= 4l(|x1-x2|+|y1-y2|r) <= 4raiz2,|u-v|
Usamos que em Omega temos |x1+x2|<=4 e |y1+y2|<=4, e que
,|x1-x2|+|y1-y2|<=raiz2,|(x1,y1)-(x2,y2)|.
Logo f é Lipschitziana com constante L=4raiz2.

Passo 4

Para (c), sejam Lipschitziana com constante e Lipschitziana com constante . Então, para quaisquer ,
Isto mostra que satisfaz a desigualdade de Lipschitz com constante , logo é Lipschitziana.

Resposta

(a) Qualquer função Lipschitziana é contínua, pois basta escolher de<a=varepsilon/L.
(b) A função f(x,y)=x^2+y^2 em (x,y)mid|x|<=2,|y|<=2 é Lipschitziana com constante L=4raiz2.
(c) A composição de duas Lipschitzianas de constantes Lf e Lg é Lipschitziana com constante Lg,Lf.

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