9- Uma mola vibratória com amortecimento que está sob força externa pode ser modelada por , onde é a massa do sistema de mola, é a constante de amortecimento, é a constante da mola, é a força do sistema no instante e é o deslocamento a partir do equilíbrio do sistema de mola no instante . Suponha que .
a) Determine a forma da equação do movimento para 0 sistema de mola quando encontrando uma solução geral para a equação acima.
b) Discuta o comportamento a longo prazo desse sistema. [Dica: Considere o que acontece com a solução geral obtida na parte a) quando ]
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea
com , , e . O objetivo é encontrar a solução geral (parte homogênea parte particular) e depois discutir o comportamento para .
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea . A equação característica é
Como , as raízes são complexas conjugadas
Logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da forma
Calculamos
Substituindo em e agrupando os coeficientes de e de , obtemos o sistema
Definindo
De<a = (k - mbeta^2)^2 + (bbeta)^2,
resolvemos e achamos
A = -bbetaDe<a, B = k - mbeta^2De<a
Assim
yp(t) = -,bbetaDe<a,cos(beta t) + k - mbeta^2De<a,sin(beta t)