9- Uma mola vibratória com amortecimento que está sob força externa pode ser modelada por m y^prime prime+b y^prime+k y=g(t), onde m>0 é a massa do sistema de mola, b>0 é a constante de amortecimento, k>0 é a constante da mola, g(t) é a força do sistema no instante t e y(t) é o deslocamento a partir do equilíbrio do sistema de mola no instante t. Suponha que b^2<4 m k.
a) Determine a forma da equação do movimento para 0 sistema de mola quando g(t)=sen beta t encontrando uma solução geral para a equação acima.
b) Discuta o comportamento a longo prazo desse sistema. [Dica: Considere o que acontece com a solução geral obtida na parte a) quando t infty ]

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea
m,y'' + b,y' + k,y = sin(beta t),
com m>0, b>0, k>0 e b^2<4mk. O objetivo é encontrar a solução geral y(t) (parte homogênea + parte particular) e depois discutir o comportamento para ttoinfty.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea yh. A equação característica é
m,r^2 + b,r + k = 0
Como b^2<4mk, as raízes são complexas conjugadas
r = -b2m pm i,omegad, omegad = raiz4mk - b^22m
Logo
yh(t) = e^-b2mtl(C1cos(omegad t)+C2sin(omegad t)r)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma
yp(t) = Acos(beta t) + Bsin(beta t)
Calculamos
yp' = -Abetasin(beta t) + Bbetacos(beta t), yp'' = -Abeta^2cos(beta t) - Bbeta^2sin(beta t)
Substituindo em m y''+b y'+k y=sin(beta t) e agrupando os coeficientes de cos(beta t) e de sin(beta t), obtemos o sistema
(k - mbeta^2),A ;+; bbeta,B = 0, -,bbeta,A ;+;(k - mbeta^2),B = 1
Definindo
De<a = (k - mbeta^2)^2 + (bbeta)^2,
resolvemos e achamos
A = -bbetaDe<a, B = k - mbeta^2De<a
Assim
yp(t) = -,bbetaDe<a,cos(beta t) + k - mbeta^2De<a,sin(beta t)

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-b2mtl(C1cos(omegad t)+C2sin(omegad t)r) - bbetaDe<acos(beta t) + k - mbeta^2De<asin(beta t)

Passo 5

No limite ttoinfty, o termo yh(t) decai exponencialmente a zero (pois b>0). Portanto sobra apenas o regime permanente
yp(t) = -,bbetaDe<acos(beta t) + k - mbeta^2De<asin(beta t),
ou seja, uma oscilação forçada de frequência beta com amplitude
1raiz(k - mbeta^2)^2 + (bbeta)^2
e defasagem phi dada por tanphi = k - mbeta^2bbeta.

Resposta

a)
y(t) = e^-b2mtl(C1cos(omegad t)+C2sin(omegad t)r) - bbeta(k - mbeta^2)^2+(bbeta)^2cos(beta t) + k - mbeta^2(k - mbeta^2)^2+(bbeta)^2sin(beta t),
onde omegad=tfracraiz4mk-b^22m.
b)
Para ttoinfty o termo transitório decai, restando
yp(t) = -,bbetaDe<acos(beta t) + k - mbeta^2De<asin(beta t),
ou seja, oscilações estacionárias em frequência beta com amplitude e fase constantes.

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