Um circuito possui um capacitor de
, um resistor de
e um indutor de
, em série. A carga inicial no capacitor é zero. No instante
conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
(a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante
.
(b) Determine a carga no capacitor quando
.
(c) Esboce o gráfico da solução obtida.
(a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante
(b) Determine a carga no capacitor quando
(c) Esboce o gráfico da solução obtida.
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série RLC com
ligado a uma fonte
em
. A carga inicial no capacitor é
e a corrente inicial é zero (indutor sem corrente). Precisamos encontrar a carga
para
, o valor limite
e esboçar o gráfico de
. O conteúdo usado será a formulação da EDO de segunda ordem para circuitos RLC e sua solução forçada.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial para a carga
no circuito:
Passo 3
Calculamos os parâmetros de amortecimento e frequência natural:
Como
, o circuito é sobreamortecido e as raízes da equação característica são
Passo 4
A solução geral de
é a soma da particular (estado permanente) e da homogênea:
A solução particular constante satisfaz
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais
e
:
em :
em
Derivando e avaliando em
:
Resolvendo o sistema:
Passo 6
Substituindo
em
e fatorando:
Passo 7
O valor quando
vem da parte particular:
Passo 8
O gráfico de
inicia em zero com inclinação zero, cresce de forma monótona sem oscilações, tem ligeira inflexão e assintoticamente tende a
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico monotônico crescente de a
, sem oscilações, formato de “S” suave.
(b)
(c) Gráfico monotônico crescente de