Um circuito possui um capacitor de 0,125 times 10^-1 F, um resistor de 60 Omega e um indutor de 10 H, em série. A carga inicial no capacitor é zero. No instante t=0 conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de 12 V e o circuito é fechado.
(a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante t>0.
(b) Determine a carga no capacitor quando t infty.
(c) Esboce o gráfico da solução obtida.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com
L=10,H, R=60,Omega, C=0,125times10^-1,F=0,0125,F,
ligado a uma fonte E=12,V em t=0. A carga inicial no capacitor é q(0)=0 e a corrente inicial é zero (indutor sem corrente). Precisamos encontrar a carga q(t) para t>0, o valor limite q(infty) e esboçar o gráfico de q(t). O conteúdo usado será a formulação da EDO de segunda ordem para circuitos RLC e sua solução forçada.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial para a carga q(t) no circuito:
L,d^2qdt^2 +R,dqdt +1C,q =E

Passo 3

Calculamos os parâmetros de amortecimento e frequência natural:
alpha=R2L=602cdot10=3;s^-1, omega0=1raizLC =1raiz10cdot0,0125 approx2,828;s^-1
Como alpha>omega0, o circuito é sobreamortecido e as raízes da equação característica são
s1,2=-alphapmraizalpha^2-omega0^2 =-3pmraiz9-8 ;longrightarrow; s1=-2, s2=-4

Passo 4

A solução geral de q(t) é a soma da particular (estado permanente) e da homogênea:
q(t)=qp+K1,e^s1t+K2,e^s2t
A solução particular constante satisfaz
1C,qp=E Longrightarrow qp=C,E =0,0125cdot12=0,15;C

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais q(0)=0 e i(0)=q'(0)=0:
em t=0:
0=q(0)=0,15+K1+K2 Longrightarrow K1+K2=-0,15
Derivando e avaliando em t=0:
q'(t)=K1,s1e^s1t+K2,s2e^s2t, 0=q'(0)=-2K1-4K2 ;Longrightarrow; K1+2K2=0
Resolvendo o sistema:
K1+K2=-0,15, K1+2K2=0 ;Longrightarrow; K1=-0,30,; K2=0,15

Passo 6

Substituindo K1,K2,s1,s2 em q(t) e fatorando:
q(t) =0,15-0,30,e^-2t+0,15,e^-4t =0,15l(1-2e^-2t+e^-4tr) =0,15l(1-e^-2tr)^2;C

Passo 7

O valor quando ttoinfty vem da parte particular:
q(infty)=qp=0,15;C

Passo 8

O gráfico de q(t)=0,15(1-e^-2t)^2 inicia em zero com inclinação zero, cresce de forma monótona sem oscilações, tem ligeira inflexão e assintoticamente tende a 0,15,C.

Resposta

(a) q(t)=0,15l(1-e^-2tr)^2 C
(b) q(infty)=0,15 C
(c) Gráfico monotônico crescente de 0 a 0,15,C, sem oscilações, formato de “S” suave.

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