Um circuito possui um capacitor de capacitância C e um resistor de resistência R conectados em série. A voltagem no circuito é dada por E(t).
Uma equação diferencial para a carga q(t) em um capacitor em um circuito em série R-C é
R d qd t+1C q=E(t) (segunda <=i de Kirchhoff)
onde E(t) é a voltagem impressa. Use a teoria de transformada de Laplace para determinar a carga q(t) quando q(0)=0 e E(t)=E0 e^-k t, k>0. Considere o caso k neq 1R C.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um circuito R–C em série cuja carga no capacitor satisfaz a equação
Rdqdt+1Cq=E0e^-kt, q(0)=0
Vamos usar transformada de Laplace para encontrar q(t), sabendo que kneq1/(RC).

Passo 2

Aplicação da transformada de Laplace: definindo Q(s)=Lq(t) e usando Ldq/dt=sQ(s)-q(0)=sQ(s), obtemos
Rl(sQ(s)r)+1CQ(s)=E0s+k
Ou seja,
Q(s)l(Rs+tfrac1Cr)=E0s+k

Passo 3

Expressão de Q(s): note que Rs+1/C=Rl(s+1/(RC)r). Então
Q(s)=E0s+kcdot1R(s+1/(RC))= racE0R1(s+k)(s+1/(RC))
Aqui definimos a=k e b=1/(RC).

Passo 4

Fração parcial: como aneq b, escrevemos
$$\frac{1}{(s+a)(s+b)}=\frac{1}{b-a}\Bigl(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\Bigr).
1(s+a)(s+b)=1b-al(1s+a-1s+br) Q(s)=\frac{E_0}{R}\frac{1}{b-a}\Bigl(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\Bigr).
Q(s)=E0R1b-al(1s+a-1s+br) Q(s)=\frac{E_0C}{1-kRC}\Bigl(\frac{1}{s+k}-\frac{1}{s+1/(RC)}\Bigr).
$$

Passo 5

Transformada inversa: aplicando L^-11/(s+α)=e^-αt, obtemos
$$q(t)=\frac{E_0C}{1-kRC}\bigl(e{-kt}-e{-t/(RC)}\bigr).
$$

Resposta

q(t)=E0C1-kRCl(e^-kt-e^-t/(RC)r), kneqtfrac1RC

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