Um circuito possui um capacitor de capacitância
e um resistor de resistência
conectados em série. A voltagem no circuito é dada por
.
Uma equação diferencial para a carga
em um capacitor em um circuito em série
é
onde
é a voltagem impressa. Use a teoria de transformada de Laplace para determinar a carga
quando
e
. Considere o caso
.
Uma equação diferencial para a carga
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um circuito R–C em série cuja carga no capacitor satisfaz a equação
Vamos usar transformada de Laplace para encontrar
Passo 2
Aplicação da transformada de Laplace: definindo
e usando
, obtemos
Ou seja,
Passo 3
Expressão de
: note que
. Então
Aqui definimos
Passo 4
Fração parcial: como
, escrevemos
$$\frac{1}{(s+a)(s+b)}=\frac{1}{b-a}\Bigl(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\Bigr).
$$
Passo 5
Transformada inversa: aplicando
, obtemos
$$q(t)=\frac{E_0C}{1-kRC}\bigl(e{-kt}-e{-t/(RC)}\bigr).
$$