Considere a curva interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Utilizando o Teorema de Stokes.
Resp.: .
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada , onde é a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada anti-horário vista de cima. O item de teoria envolvido é o Teorema de Stokes, que diz que\
onde é qualquer superfície com borda e sua normal orientada de modo compatível com a orientação de .
Passo 2
Calculamos primeiro o rotacional de com . Usando
obtemos
Logo
Escolhemos a superfície como o disco plano em , cuja normal unitária para cima é . Então
Passo 3
Agora integramos sobre o disco de raio 1 no plano z=9:
ointC Fcdot d r = integral duplax^2+y^2<=1 (81 - e^6),dA = (81 - e^6) cdot picdot1^2