Considere a curva C interseção do parabolóide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z:
Utilizando o Teorema de Stokes.
Resp.: (81-e^6) pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada ointC y e^z-3,dx + x z^2,dy + e^xyz,dz, onde C é a interseção do paraboloide z=10 - x^2 - y^2 com o cilindro x^2 + y^2 =1, orientada anti-horário vista de cima. O item de teoria envolvido é o Teorema de Stokes, que diz que\
ointC Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é qualquer superfície com borda C e n sua normal orientada de modo compatível com a orientação de C.

Passo 2

Calculamos primeiro o rotacional de F=(P,Q,R) com P=y e^z-3, Q=x z^2, R=e^xyz. Usando
nablatimes F = l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr),
obtemos
Ry = xz e^xyz, Qz = 2xz,
Pz = y e^z-3, Rx = yz e^xyz,
Qx = z^2, Py = e^z-3
Logo
(nablatimes F)z = Qx - Py = z^2 - e^z-3
Escolhemos a superfície S como o disco plano x^2+y^2<=1 em z=9, cuja normal unitária para cima é k. Então
(nablatimes F)cdot n = (Qx - Py)|z=9 = 9^2 - e^9-3 = 81 - e^6

Passo 3

Agora integramos sobre o disco de raio 1 no plano z=9:
ointC Fcdot d r = integral duplax^2+y^2<=1 (81 - e^6),dA = (81 - e^6) cdot picdot1^2

Resposta

(81 - e^{6}),\pi

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