Determine e esboce o maior conjunto no qual a função dada é contínua ( 29,38 )
Passo 1
O enunciado pede a maior região em R^2 onde a função f(x,y)=
é contínua; o conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar que quociente de funções polinomiais é contínuo onde o denominador não se anula.
Passo 2
A função é dada por numerador e denominador que são polinômios em x e y. Polinômios são contínuos em R^2, e a razão só deixa de ser contínua onde o denominador vale zero.
Devemos impor que . Isso equivale a
, ou seja, a circunferência de raio 1 centrada na origem fica excluída do domínio.
Devemos impor que
Passo 3
Dessa forma, a maior região de continuidade é todo o plano R^2 exceto os pontos que satisfazem
. Em outras palavras, é a união do disco aberto de raio 1 e da região externa ao círculo.
Para esboçar, basta desenhar a circunferência de raio 1 tracejada (porque não faz parte do domínio) e sombrear tanto o interior (onde ) quanto o exterior (onde
). Esses dois conjuntos juntos formam o domínio de continuidade.
Para esboçar, basta desenhar a circunferência de raio 1 tracejada (porque não faz parte do domínio) e sombrear tanto o interior (onde
Resposta
O maior conjunto de continuidade é
, ou seja, o disco aberto de raio 1 e a região externa ao círculo unitário.