Determine e esboce o maior conjunto no qual a função dada é contínua ( 29,38 )
f(x, y)=1+x^2+y^21-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede a maior região em R^2 onde a função f(x,y)= 1+x^2+y^21-x^2-y^2 é contínua; o conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar que quociente de funções polinomiais é contínuo onde o denominador não se anula.

Passo 2

A função é dada por numerador e denominador que são polinômios em x e y. Polinômios são contínuos em R^2, e a razão só deixa de ser contínua onde o denominador vale zero.
Devemos impor que 1 - x^2 - y^2 neq 0. Isso equivale a x^2 + y^2 neq 1, ou seja, a circunferência de raio 1 centrada na origem fica excluída do domínio.

Passo 3

Dessa forma, a maior região de continuidade é todo o plano R^2 exceto os pontos que satisfazem x^2+y^2=1. Em outras palavras, é a união do disco aberto de raio 1 e da região externa ao círculo.
Para esboçar, basta desenhar a circunferência de raio 1 tracejada (porque não faz parte do domínio) e sombrear tanto o interior (onde x^2+y^2<1) quanto o exterior (onde x^2+y^2>1). Esses dois conjuntos juntos formam o domínio de continuidade.

Resposta

O maior conjunto de continuidade é (x,y)in R^2:,x^2+y^2neq1, ou seja, o disco aberto de raio 1 e a região externa ao círculo unitário.

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