Determine a transformada de Laplace da função periódica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a transformada de Laplace de uma função periódica definida por:
Isso significa que a função repete seu comportamento a cada período de . Para resolver isso, vamos usar a teoria da transformada de Laplace para funções periódicas. Precisaremos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas e calcular a integral necessária.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Laplace para uma função periódica com período :
Aqui, é o período da função. No nosso caso, , porque a função se repete a cada .
Passo 3
Agora, vamos identificar no intervalo de um período, que é de a :
Para ,
Para ,
Então, podemos escrever a integral como:
A segunda integral é zero, então só precisamos calcular a primeira.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos: