Determine a transformada de Laplace da função periódica:
f(t)=cc t, & 0 <= t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a transformada de Laplace de uma função periódica definida por:
f(t)=cc t, & 0 <= t
Isso significa que a função repete seu comportamento a cada período de 2pi. Para resolver isso, vamos usar a teoria da transformada de Laplace para funções periódicas. Precisaremos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas e calcular a integral necessária.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Laplace para uma função periódica com período T:
Lf(t) = 11 - e^-sT integral0^T e^-st f(t) , dt
Aqui, T é o período da função. No nosso caso, T = 2pi, porque a função se repete a cada 2pi.

Passo 3

Agora, vamos identificar f(t) no intervalo de um período, que é de 0 a 2pi:
  • Para 0 <= t < pi, f(t) = t
  • Para pi <= t < 2pi, f(t) = 0
Então, podemos escrever a integral como:
integral0^2pi e^-st f(t) , dt = integral0^pi e^-st t , dt + integralpi^2pi e^-st cdot 0 , dt
A segunda integral é zero, então só precisamos calcular a primeira.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^pi e^-st t , dt
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • u = t du = dt
  • dv = e^-st dt v = -1s e^-st
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então:
integral0^pi e^-st t , dt = -ts e^-st |0^pi + 1s integral0^pi e^-st , dt

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
-ts e^-st |0^pi = -pis e^-spi + 0s e^0 = -pis e^-spi
Segunda parte:
1s integral0^pi e^-st , dt = 1s [ -1s e^-st ]0^pi = 1s ( -1s e^-spi + 1s ) = 1s^2 (1 - e^-spi)

Passo 6

Agora, juntando as duas partes:
integral0^pi e^-st t , dt = -pis e^-spi + 1s^2 (1 - e^-spi)
Podemos simplificar:
integral0^pi e^-st t , dt = 1s^2 - pis e^-spi - 1s^2 e^-spi
= 1s^2 - e^-spi ( pis + 1s^2 )

Passo 7

Agora, voltando à fórmula da transformada de Laplace para função periódica:
Lf(t) = 11 - e^-sT integral0^T e^-st f(t) , dt
Substituindo T = 2pi e a integral que calculamos:
Lf(t) = 11 - e^-2pi s ( 1s^2 - e^-pi s ( pis + 1s^2 ) )

Passo 8

Podemos fatorar e^-pi s na expressão:
Lf(t) = 11 - e^-2pi s ( 1s^2 - e^-pi s ( pis + 1s^2 ) )
Isso pode ser reescrito como:
Lf(t) = 1 - e^-pi s ( pi s + 1 )s^2 (1 - e^-2pi s)

Resposta

Assim, a transformada de Laplace da função periódica dada é:
Lf(t) = 1 - e^-pi s ( pi s + 1 )s^2 (1 - e^-2pi s)

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