Um circuito possui um capacitor de capacitância C e um resistor de resistência R conectados em série. A voltagem no circuito é dada por E(t).
Uma equação diferencial para a carga q(t) em um capacitor em um circuito em série R-C é
R d qd t+1C q=E(t) (segunda <=i de Kirchhoff)
onde E(t) é a voltagem impressa. Use a teoria de transformada de Laplace para determinar a carga q(t) quando q(0)=0 e E(t)=E0 e^-k t, k>0. Considere o caso k=1R C.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um circuito R-C (resistor e capacitor) em série, onde a voltagem aplicada é $ E(t) = E_0 e^{-kt} $ com $ k = \frac{1}{RC} $. A equação diferencial que descreve a carga no capacitor é:
E(t) = E0 e^-kt
Queremos encontrar a função $ q(t) $ usando a transformada de Laplace, dado que inicialmente $ q(0) = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
L R dqdt + L 1C q = L E(t)
Sabemos que:
L dqdt = sQ(s) - q(0)
E como $ q(0) = 0 $:
q(0) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de $ E(t) = E_0 e^{-kt} $:
E(t) = E0 e^-kt
Substituindo de volta na equação:
L E0 e^-kt = E0s + k

Passo 5

Vamos fatorar $ Q(s) $:
Q(s)
Agora, isolamos $ Q(s) $:
Q(s) ( R s + 1C ) = E0s + k

Passo 6

Vamos simplificar o denominador. Sabemos que $ k = \frac{1}{RC} $, então:
k = 1RC
Substituindo na expressão de $ Q(s) $:
R s + 1C = R ( s + 1RC ) = R (s + k)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar $ q(t) $ aplicando a transformada inversa de Laplace:
q(t)
Sabemos que:
q(t) = L^-1 E0R (s + k)^2
Então, aplicando isso:
L^-1 1(s + a)^2 = t e^-a t

Resposta

A carga no capacitor é dada por:
q(t) = E0R , t , e^- tRC

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