Um circuito possui um capacitor de capacitância
e um resistor de resistência
conectados em série. A voltagem no circuito é dada por
.
Uma equação diferencial para a carga
em um capacitor em um circuito em série
é
onde
é a voltagem impressa. Use a teoria de transformada de Laplace para determinar a carga
quando
e
. Considere o caso
.
Uma equação diferencial para a carga
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um circuito R-C (resistor e capacitor) em série, onde a voltagem aplicada é $ E(t) = E_0 e^{-kt} $ com $ k = \frac{1}{RC} $. A equação diferencial que descreve a carga no capacitor é:
Queremos encontrar a função $ q(t) $ usando a transformada de Laplace, dado que inicialmente $ q(0) = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. A transformada de uma função $ f(t) $ é dada por:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
E como $ q(0) = 0 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de $ E(t) = E_0 e^{-kt} $:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos fatorar $ Q(s) $:
Agora, isolamos $ Q(s) $:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que $ k = \frac{1}{RC} $, então:
Substituindo na expressão de $ Q(s) $:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar $ q(t) $ aplicando a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Então, aplicando isso:
Resposta
A carga no capacitor é dada por: