Resolva a equação diferencial que modela a velocidade de um corpo em queda livre:
m d vd t=m g-k v,
onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade, e k é a constante de resistência do ar. Considere a condição inicial v(0)=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver m dvdt = m g - k v com v(0)=0. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos dividindo por m para colocar no formato padrão de EDO linear:
dvdt + kmv = g

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) definindo
mu(t)=exp!l(integral km,dtr)=e^kmt

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t), o lado esquerdo se torna derivada de produto e o direito fica simples de integrar.
ddtl(v,e^kmtr)=g,e^kmt

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(v,e^kmtr)dt = integral g,e^kmtdt

Passo 6

v,e^kmt = g mke^kmt + C

Passo 7

Isolando v(t):
v(t) = g mk + C e^-kmt

Passo 8

Aplicamos a condição inicial v(0)=0, logo
0 = g mk + C
que dá C=-g mk. Substituindo em v(t), obtemos
v(t) = g mkl(1 - e^-kmtr)

Resposta

v(t) = m gkl(1 - e^-kmtr)

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