© Em um circuito puramente capacitivo, a corrente I(t) sobre o capacitor de 100 mu F é dada abaixo. Sabendo que
I(t)=C d V(t)d tencontre a expressão senoidal para a tensão sobre o capacitor. Esboce o diagrama de corrente e tensão no domínio do tempo. Explique a relação de fase entre a tensão e a corrente no capacitor.
(e)

Passo 1

O problema dá um circuito puramente capacitivo com capacitância de 100 μF e uma corrente senoidal sobre o capacitor dada por I(t)=40,sin(500t+60^circ). Queremos usar a relação I(t)=C,dV(t)dt para encontrar a expressão de V(t) em regime senoidal, depois esboçar os sinais no domínio do tempo e explicar a defasagem entre i(t) e v(t).

Passo 2

Começamos escrevendo a relação entre corrente e tensão no capacitor:
I(t)=CdV(t)dt

Passo 3

Integramos ambos os lados para obter V(t):
V(t)=1Cintegral I(t),dt = 1Cintegral 40sin(500t+60^circ),dt

Passo 4

A integral de sin(500t+60^circ) é
integral sin(500t+60^circ),dt = -1500cos(500t+60^circ) + K

Passo 5

Logo:
V(t)=40Cl(-1500cos(500t+60^circ)r) + K' = -40500Ccos(500t+60^circ) + K'

Passo 6

Em regime senoidal puro não há componente DC, então escolhemos K'=0. Substituindo C=100times10^-6, F:
500C = 500times100times10^-6 = 0,05, 1500C=20

Passo 7

Fica:
V(t)=-800cos(500t+60^circ)

Passo 8

Converter para forma senoidal usando cos(theta) = sin(theta+90^circ):
V(t)=-800cos(500t+60^circ)=800sinl(500t+60^circ-90^circr)=800sin(500t-30^circ)

Passo 9

Esboço no domínio do tempo:
  • i(t)=40sin(500t+60^circ), amplitude 40 A, defasagem +60°.
  • v(t)=800sin(500t-30^circ), amplitude 800 V, defasagem –30°.
Nesse esboço percebe-se que o pico de corrente ocorre 90° antes do pico de tensão. Em outras palavras, a corrente lidera a tensão em 90°.

Resposta

V(t)=800,sin(500t-30^circ) V. A corrente no capacitor lidera a tensão em 90°.

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