Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de
. Descreva as relações que existem entre as soluções.
Passo 1
Neste exercício temos uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes, dada por
e condição inicial
. O conteúdo da matéria é resolução de EDOs lineares, e vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea, uma solução particular e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Para achar a solução geral, primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
cuja solução é
Passo 3
Em seguida buscamos uma solução particular constante
. Substituindo
em
dá
Logo a solução geral é
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
:
Portanto a solução particular fica
Passo 5
Para desenhar os gráficos, escolhemos vários
(por exemplo 0, 5, 10). Cada curva é uma translação vertical da exponencial e todas tendem para o equilíbrio
quando
. Se
a solução decai até 5, se
ela cresce até 5, e se
fica constante. A relação entre quaisquer duas soluções
e
é
que mostra que a diferença decai exponencialmente para zero, revelando que todas as soluções se agrupam em torno da solução de equilíbrio de forma estável.