Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de y0. Descreva as relações que existem entre as soluções.
ld yd t=-2 y+10 y(0)=y0

Passo 1

Neste exercício temos uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes, dada por dydt=-2y+10 e condição inicial y(0)=y0. O conteúdo da matéria é resolução de EDOs lineares, e vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea, uma solução particular e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Para achar a solução geral, primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
dyhdt+2yh=0
cuja solução é
yh(t)=C,e^-2t

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular constante yp. Substituindo y=yp em dy/dt=-2y+10
0=-2yp+10Rightarrow yp=5
Logo a solução geral é
y(t)=yh(t)+yp=5+C,e^-2t

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=y0:
y(0)=5+C=y0Rightarrow C=y0-5
Portanto a solução particular fica
boxedy(t)=5+(y0-5)e^-2t

Passo 5

Para desenhar os gráficos, escolhemos vários y0 (por exemplo 0, 5, 10). Cada curva é uma translação vertical da exponencial e todas tendem para o equilíbrio y=5 quando tto+infty. Se y0>5 a solução decai até 5, se y0<5 ela cresce até 5, e se y0=5 fica constante. A relação entre quaisquer duas soluções y(1)(t) e y(2)(t) é
y(1)(t)-y(2)(t)=(y01-y02)e^-2t,
que mostra que a diferença decai exponencialmente para zero, revelando que todas as soluções se agrupam em torno da solução de equilíbrio de forma estável.

Resposta

y(t)=5+(y0-5)e^-2t

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