Obtenha o módulo da diferença de potencial entre as extremidades de uma indutância L percorrida por uma corrente i=i_{0} \sin (\omega t).

Passo 1

O enunciado pede o módulo (valor absoluto) da diferença de potencial entre as extremidades de uma indutância L quando a corrente que a percorre é \,i(t)=i_{0}\sin(\omega t)\,.
Dados fornecidos:
  • Indutância: L (henry, H).
  • Corrente: i(t)=i_{0}\sin(\omega t), onde i_{0} é a amplitude (ampères, A) e \omega a frequência angular (rad/s).
    Pergunta: calcular \left|v(t)\right|, o módulo da tensão entre as extremidades da indutância.

Passo 2

Regra física/matemática que vamos usar: a tensão instantânea em um indutor, tomando a convenção passiva, é proporcional à derivada temporal da corrente. A fórmula é
v(t)=L\frac{di(t)}{dt}.
Explicando as variáveis: \,v(t)\, é a diferença de potencial instantânea (volts), \,L\, é a indutância e \dfrac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente no tempo. Em palavras simples: o indutor gera uma tensão que “resiste” à mudança de corrente; quanto mais rápida a variação, maior a tensão.

Passo 3

Calcular a derivada de \,i(t)=i_{0}\sin(\omega t)\,. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a t é \cos(u)\cdot du/dt. Aqui u=\omega t e du/dt=\omega. Portanto
\frac{di(t)}{dt}=i_{0}\cdot\omega\cos(\omega t).
Detalhe pedagogico: derivar \sin(\omega t) \omega\cos(\omega t) porque a velocidade com que o argumento \omega t muda é \omega.

Passo 4

Substituindo a derivada na expressão de tensão do indutor:
v(t)=L\frac{di(t)}{dt}=L\cdot i_{0}\omega\cos(\omega t).
Interpretação útil para prova: a tensão é uma senóide em fase defasada em relação à corrente. Como a corrente é \sin(\omega t) e a tensão aparece com \cos(\omega t), isso significa que a tensão está adiantada de 90^\circ em relação à corrente. A amplitude (valor de pico) da tensão é \,L\,i_{0}\omega, e as unidades conferem: [H]\cdot[A]\cdot[{\rm rad/s}]=[V].

Passo 5

O enunciado pede o módulo da diferença de potencial, ou seja o valor absoluto de v(t). Tomando valor absoluto:
\left|v(t)\right|=L\,i_{0}\,\omega\left|\cos(\omega t)\right|.
Observação prática: o valor máximo do módulo é L\,i_{0}\omega (quando |\cos(\omega t)|=1). Respira fundo — é uma conta direta mas essencial em circuitos AC.

Resposta

\left|v(t)\right|=L\,i_{0}\,\omega\left|\cos(\omega t)\right|

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