Escreva a fórmula para a obtenção da tensão eficaz V_{e f} nos terminais de qualquer elemento de um circuito em série alimentado por um gerador de corrente alternada cuja tensão eficaz seja igual a V.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula para calcular a tensão eficaz nos terminais de qualquer elemento de um circuito em série alimentado por um gerador de corrente alternada cuja tensão eficaz é V.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • O circuito é em série: todos os elementos estão em série entre si.
  • A fonte fornece tensão eficaz igual a V.
  • Quer-se a expressão da tensão eficaz em um elemento genérico do circuito (vou chamá-lo de elemento k) em função dos dados do circuito.

Passo 2

Entendendo as grandezas que vamos usar (breve aula): em regime senoidal permanente trabalhamos bem com fasores e impedâncias complexas. Para um elemento qualquer, a relação de Ohm em fasor é
\underline{V}=\underline{I}\,\underline{Z},
onde:
  • \underline{V} é o fasor da tensão (valor complexo),
  • \underline{I} é o fasor da corrente,
  • \underline{Z} é a impedância complexa do elemento.
A tensão eficaz (ou RMS) corresponde ao módulo do fasor da tensão dividido por um fator que já consideramos quando usamos valores eficazes; portanto, ao trabalhar com valores eficazes e impedâncias, a relação análoga é
V_{ef}=I_{ef}\,|Z|,
onde V_{ef} e I_{ef} são as magnitudes eficazes (RMS) e |Z| é o módulo da impedância.

Passo 3

Propriedade importante de circuitos em série (explicação): em série a corrente é a mesma em todos os elementos. Assim, para todo elemento k do circuito em série vale
I_{ef,k}=I_{ef,\text{total}} \equiv I_{ef}.
A impedância total do circuito em série é a soma complexa das impedâncias dos elementos:
\underline{Z}_{\text{tot}}=\sum_j \underline{Z}_j.

Passo 4

Ligando a tensão da fonte com a tensão do elemento (passo chave): a tensão eficaz fornecida pela fonte é a magnitude da queda de tensão total:
V = I_{ef}\,|\underline{Z}_{\text{tot}}|.
A tensão eficaz no elemento k é
V_{ef,k}=I_{ef}\,|\underline{Z}_k|.
Isolando I_{ef} da primeira equação e substituindo na segunda obtemos a relação desejada entre V_{ef,k} e V:
I_{ef}=\frac{V}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}\quad\Rightarrow\quad V_{ef,k}=\frac{V}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}\,|\underline{Z}_k|.

Passo 5

Interpretação e forma prática da fórmula (explicando cada símbolo): a fórmula final diz que a tensão eficaz no elemento k é a tensão da fonte multiplicada pela fração do módulo da impedância do elemento sobre o módulo da impedância total. Aqui:
  • \underline{Z}_k é a impedância complexa do elemento k (por exemplo \underline{Z}_R=R, \underline{Z}_L=j\omega L, \underline{Z}_C= -j/(\omega C)),
  • |\underline{Z}_k| é o módulo da impedância: para uma impedância \underline{Z}=R+jX tem-se |\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X^2},
  • |\underline{Z}_{\text{tot}}| é o módulo da impedância total, calculado da mesma forma após somar as impedâncias.

Passo 6

Casos especiais e dica prática:
  • Se o elemento k for um resistor puro R, então |\underline{Z}_k|=R e
V_{ef,k}=V\frac{R}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}.
  • Se for um indutor L, |\underline{Z}_k|=\omega L e
V_{ef,k}=V\frac{\omega L}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}.
  • Se for um capacitor C, |\underline{Z}_k|=\dfrac{1}{\omega C} e
V_{ef,k}=V\frac{1/(\omega C)}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}.
Dica prática para a prova: calcule primeiro as impedâncias complexas, some para obter \underline{Z}_{\text{tot}}, calcule os módulos e aplique a fórmula direta que segue.

Resposta

V_{ef,k}=V\,\frac{|\underline{Z}_k|}{|\underline{Z}_{\text{tot}}|}

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