Considerando um sistema planetário onde um planeta orbita uma estrela com uma órbita eliptica. Para simplificar, considere que a órbita do planeta se aproxima de uma órbita circular, com uma excentricidade muito baixa, e que a distância média entre o planeta e a estrela seja de
. O periodo orbital do planeta é de
anos. Além disso, sabemos que o planeta está em órbita ao redor de uma estrela com características semelhantes ao nosso Sol. O valor da constante gravitacional é
.
a) Determine a massa da estrela ao redor da qual o planeta está orbitando.
b) Se a excentricidade da órbita fosse maior, fazendo com que a distância entre o planeta e a estrela variasse entre
e
, o periodo orbital do planeta mudaria? Justifique sua resposta e calcule o novo periodo orbital médio.
c) Supondo que a órbita do planeta seja perfeitamente circular, calcule a velocidade do planeta em sua órbita.
a) Determine a massa da estrela ao redor da qual o planeta está orbitando.
b) Se a excentricidade da órbita fosse maior, fazendo com que a distância entre o planeta e a estrela variasse entre
c) Supondo que a órbita do planeta seja perfeitamente circular, calcule a velocidade do planeta em sua órbita.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados importantes (vou listar cada um explicitamente):
- distância média (que vamos interpretar como semi-eixo maior da órbita)
. - período orbital
anos. - constante gravitacional
. - a estrela tem características semelhantes ao Sol (isso é apenas contextual — usaremos os dados numéricos acima).
Perguntas:
a) Determinar a massa da estrela ao redor da qual o planeta orbita.
b) Se a órbita ficar mais excêntrica com distância variando entree , o período mudaria? Justifique e calcule o novo período orbital médio.
c) Supondo órbita perfeitamente circular, calcular a velocidade orbital do planeta.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (aula rapidinha e intuitiva): para uma órbita quase circular o equilíbrio entre a força gravitacional (que puxa para dentro) e a força centrípeta (necessária para manter o movimento circular) dá a relação
onde:
-
é a massa do planeta (cancela na equação), -
é a velocidade orbital, -
o raio da órbita, -
a massa da estrela, -
a constante gravitacional.
Dessa igualdade segue
Como o período
é o tempo para uma volta inteira e a circunferência é
, temos
. Substituindo em
e isolando
obtemos a forma prática usada em astrofísica (Lei de Kepler em forma de massa):
Vou usar essa fórmula para calcular a massa da estrela. (Observação: esta fórmula vale para órbita de dois corpos quando a massa do planeta é muito menor que a da estrela, que é o caso típico.)
Passo 3
Converter o período de anos para segundos (porque
está em unidades SI). Usamos o ano juliano médio
dias e
. Então
Calculemos:
logo
Passo 4
Calcular a massa
usando
.
Primeiro compute
:
Calcule
:
Produto no numerador:
Denominador
:
Agora a razão:
Interpretação rápida:
, que é cerca de
vezes a massa do Sol (isso só para dar ideia; o enunciado disse “semelhante ao Sol” só como contexto).
Passo 5
Resposta e justificativa para (b). Teoria curta e direta: para órbitas elípticas o período orbital depende apenas do semi-eixo maior
da elipse (pela terceira lei de Kepler em forma geral):
Se a distância varia entre periastro
e apoastro
, o semi-eixo maior é a média:
Portanto o semi-eixo maior é exatamente o mesmo valor
que tínhamos no caso quase circular inicial. Conclusão: o período NÃO muda, porque depende só de
(e da massa
), e
não mudou. Assim o novo período médio é o mesmo do caso (a):
Passo 6
Parte (c): velocidade orbital na órbita circular. Podemos usar duas formas equivalentes; escolho a forma direta
Já temos
,
e
. Substituindo:
Tomando raiz quadrada:
(Se quiser conferir: usando
com
e
já convertidos, dá o mesmo resultado
.)
Resposta
a)
b) O período não mudaria, pois depende apenas do semi-eixo maior , que aqui é
; portanto
c)
b) O período não mudaria, pois depende apenas do semi-eixo maior
c)