(2,0) Considerando um sistema planetário onde um planeta orbita uma estrela com uma órbita eliptica. Para simplificar, considere que a órbita do planeta se aproxima de uma órbita circular, com uma excentricidade muito baixa, e que a distância média entre o planeta e a estrela seja de \mathrm{r}=3,0 \times 10^{11} \mathrm{~m}. O periodo orbital do planeta é de \mathrm{T}=7,5 anos. Além disso, sabemos que o planeta está em órbita ao redor de uma estrela com características semelhantes ao nosso Sol. O valor da constante gravitacional é \mathrm{G}=6,674 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~kg}^{-2}.
a) Determine a massa da estrela ao redor da qual o planeta está orbitando.
b) Se a excentricidade da órbita fosse maior, fazendo com que a distância entre o planeta e a estrela variasse entre 2,5 \times 10^{11} \mathrm{~m} e 3,5 \times 10^{11} \mathrm{~m}, o periodo orbital do planeta mudaria? Justifique sua resposta e calcule o novo periodo orbital médio.
c) Supondo que a órbita do planeta seja perfeitamente circular, calcule a velocidade do planeta em sua órbita.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados importantes (vou listar cada um explicitamente):
  • distância média (que vamos interpretar como semi-eixo maior da órbita) \,r=3{,}0\times10^{11}\,\mathrm{m}.
  • período orbital \,T=7{,}5 anos.
  • constante gravitacional \,G=6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}}.
  • a estrela tem características semelhantes ao Sol (isso é apenas contextual — usaremos os dados numéricos acima).
    Perguntas:
    a) Determinar a massa da estrela ao redor da qual o planeta orbita.
    b) Se a órbita ficar mais excêntrica com distância variando entre \,2{,}5\times10^{11}\,\mathrm{m} e \,3{,}5\times10^{11}\,\mathrm{m}, o período mudaria? Justifique e calcule o novo período orbital médio.
    c) Supondo órbita perfeitamente circular, calcular a velocidade orbital do planeta.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula rapidinha e intuitiva): para uma órbita quase circular o equilíbrio entre a força gravitacional (que puxa para dentro) e a força centrípeta (necessária para manter o movimento circular) dá a relação
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • \,m é a massa do planeta (cancela na equação),
  • \,v é a velocidade orbital,
  • \,r o raio da órbita,
  • \,M a massa da estrela,
  • \,G a constante gravitacional.
    Dessa igualdade segue
v^{2}=\frac{G M}{r}.
Como o período \,T é o tempo para uma volta inteira e a circunferência é \,2\pi r, temos \,v=\dfrac{2\pi r}{T}. Substituindo em v^{2}=\dfrac{G M}{r} e isolando M obtemos a forma prática usada em astrofísica (Lei de Kepler em forma de massa):
T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G M}\quad\Rightarrow\quad M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}.
Vou usar essa fórmula para calcular a massa da estrela. (Observação: esta fórmula vale para órbita de dois corpos quando a massa do planeta é muito menor que a da estrela, que é o caso típico.)

Passo 3

Converter o período de anos para segundos (porque G está em unidades SI). Usamos o ano juliano médio \,1\,\text{ano}=365{,}25 dias e \,1\,\text{dia}=86400\,\text{s}. Então
T = 7{,}5\\ \text{anos} = 7{,}5\times365{,}25\times86400\\ \mathrm{s}.
Calculemos:
1\\ \text{ano}=365{,}25\times86400=31\,557\,600\\ \mathrm{s},
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T = 7{,}5\times31\,557\,600 = 236\,682\,000\\ \mathrm{s} \;=\;2{,}36682\times10^{8}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a massa \,M usando \displaystyle M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}.
Primeiro compute r^{3}:
r^{3}=(3{,}0\times10^{11}\,\mathrm{m})^{3}=27{,}0\times10^{33}\,\mathrm{m^{3}}=2{,}70\times10^{34}\,\mathrm{m^{3}}.
Calcule 4\pi^{2}:
4\pi^{2}\approx39{,}4784176.
Produto no numerador:
4\pi^{2}r^{3}\approx39{,}4784176\times2{,}70\times10^{34}\approx1{,}0659168\times10^{36}.
Denominador G T^{2}:
T^{2}=(2{,}36682\times10^{8}\,\mathrm{s})^{2}\approx5{,}6026\times10^{16}\,\mathrm{s^{2}},
G T^{2}=6{,}674\times10^{-11}\times5{,}6026\times10^{16}\approx3{,}7389\times10^{6}.
Agora a razão:
M=\frac{1{,}0659168\times10^{36}}{3{,}7389\times10^{6}}\approx2{,}852\times10^{29}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação rápida: \,M\approx2{,}85\times10^{29}\,\mathrm{kg}, que é cerca de 0{,}14 vezes a massa do Sol (isso só para dar ideia; o enunciado disse “semelhante ao Sol” só como contexto).

Passo 5

Resposta e justificativa para (b). Teoria curta e direta: para órbitas elípticas o período orbital depende apenas do semi-eixo maior \,a da elipse (pela terceira lei de Kepler em forma geral):
T^{2}=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{G M}.
Se a distância varia entre periastro \,r_{\min}=2{,}5\times10^{11}\,\mathrm{m} e apoastro \,r_{\max}=3{,}5\times10^{11}\,\mathrm{m}, o semi-eixo maior é a média:
a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}{2}=\frac{2{,}5\times10^{11}+3{,}5\times10^{11}}{2}=3{,}0\times10^{11}\,\mathrm{m}.
Portanto o semi-eixo maior é exatamente o mesmo valor \,3{,}0\times10^{11}\,\mathrm{m} que tínhamos no caso quase circular inicial. Conclusão: o período NÃO muda, porque depende só de a (e da massa M), e a não mudou. Assim o novo período médio é o mesmo do caso (a):
T_{\text{novo}}=7{,}5\\ \text{anos} \;=\;2{,}36682\times10^{8}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Parte (c): velocidade orbital na órbita circular. Podemos usar duas formas equivalentes; escolho a forma direta
v=\sqrt{\frac{G M}{r}}.
Já temos G, M e r. Substituindo:
\frac{G M}{r}=\frac{6{,}674\times10^{-11}\times2{,}852\times10^{29}}{3{,}0\times10^{11}}\approx6{,}344\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tomando raiz quadrada:
v\approx\sqrt{6{,}344\times10^{7}}\approx7{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
(Se quiser conferir: usando v=2\pi r/T com r e T já convertidos, dá o mesmo resultado \approx7{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

a) \,M\approx2{,}85\times10^{29}\\ \mathrm{kg}.
b) O período não mudaria, pois depende apenas do semi-eixo maior a, que aqui é a=(2{,}5+3{,}5)\times10^{11}/2=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{m}; portanto T_{\text{novo}}=7{,}5\\ \text{anos}=2{,}36682\times10^{8}\\ \mathrm{s}.
c) \,v\approx7{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

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