Considere um circuito L C amortecido. (a) Demonstre que o termo de amortecimento e^{-\mathrm{Rt} / 2 L} (que envolve L, mas não C ) pode ser reescrito numa forma mais simétrica (envolvendo L e C ) como e^{-\pi R \sqrt{C / L}(t / T)}. Nesta expressão T é o período de oscilação (desprezando a resistência). (b) Usando o item (a) demonstre que a condição para que a perda percentual de energia, por ciclo, seja pequena, é dada por: R \ll \sqrt{L / C}.

Passo 1

O enunciado dá um circuito L C amortecido e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que o fator de amortecimento temporal dado por e^{-Rt/2L} pode ser reescrito de forma que apareçam simetricamente L e C como e^{-\pi R \sqrt{C/L}\,(t/T)}, onde T é o período de oscilação desprezando a resistência.
  • (b) Usando (a), demonstrar que a condição para que a perda percentual de energia por ciclo seja pequena é R \ll \sqrt{L/C}.
Informações relevantes do enunciado (lista limpa):
  • Fator de amortecimento (envelope da amplitude): e^{-Rt/2L} (já fornecido).
  • T é o período de oscilação do circuito LC desprezando a resistência (isto é, do circuito ideal).
  • Queremos relacionar L e C de forma simétrica e obter uma condição sobre R para perda de energia por ciclo pequena.

Passo 2

Noções básicas e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Num circuito LC ideal (sem resistência) a pulsação natural é
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Isto vem da equação do oscilador harmônico elétrico; \omega_0 tem unidade rad/s e diz quão rápido as oscilações ocorrem.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado com \omega_0 por
T=\frac{2\pi}{\omega_0}.
Substituindo \omega_0 obtemos a fórmula clássica do período do LC:
T=2\pi\sqrt{LC}.
Expliquei isso porque a expressão que queremos introduzir tem T e vai exigir substituir essa relação.
  • Sobre energia: a energia total do circuito LC é a soma das energias no capacitor e no indutor,
E(t)=\frac{1}{2}C V(t)^2 + \frac{1}{2}L I(t)^2.
Para uma oscilação, a amplitude do sinal (tensão ou corrente) decai como e^{-Rt/(2L)}. Como a energia depende do quadrado das amplitudes (veja a forma acima), a energia total decai como o quadrado desse envelope, ou seja como e^{-Rt/L}. Vou usar isso adiante para falar de perda por ciclo.
  • Aproximação para pequenas perdas: se x é pequeno, e^{-x}\approx 1-x. Usamos isso para estimar perda percentual quando o expoente é pequeno.

Passo 3

Demonstração algébrica da igualdade pedida em (a).
Queremos mostrar:
e^{-Rt/2L}=e^{-\pi R \sqrt{C/L}\,(t/T)}.
Começamos da expressão do período T:
T=2\pi\sqrt{LC}.
Dividindo ambos os lados por 2\pi obtemos
\sqrt{LC}=\frac{T}{2\pi}.
Agora note que
\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{\sqrt{LC}}{L}.
Substituindo \sqrt{LC}=\dfrac{T}{2\pi} nessa última igualdade:
\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{T}{2\pi L}.
Multiplicando ambos os lados por \pi R e por \dfrac{t}{T} obtemos
\pi R \sqrt{\frac{C}{L}}\,\frac{t}{T} = \pi R \frac{T}{2\pi L}\frac{t}{T} = \frac{R t}{2L}.
Portanto os expoentes coincidem, e assim
e^{-Rt/2L}=e^{-\pi R \sqrt{C/L}\,(t/T)}.
Isso conclui (a). Intuição: escrevemos \dfrac{Rt}{2L} em unidades do número de ciclos ( t/T) multiplicado por um fator que contém \sqrt{C/L}, deixando L e C simetricamente presentes.

Passo 4

Agora a parte (b): usar (a) para obter a condição de pequena perda percentual de energia por ciclo.
Primeiro, amplitude por ciclo. Se tomarmos t=T (um ciclo), a redução da amplitude ao final de um ciclo é, por (a),
\text{fator de amplitude por ciclo} = e^{-\pi R \sqrt{C/L}}.
Como a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, o fator de energia por ciclo é
\text{fator de energia por ciclo} = \left(e^{-\pi R \sqrt{C/L}}\right)^2 = e^{-2\pi R \sqrt{C/L}}.
Para que a perda percentual de energia por ciclo seja pequena queremos que o expoente seja pequeno em módulo, isto é
2\pi R \sqrt{\frac{C}{L}} \ll 1.
Esta desigualdade garante que e^{-2\pi R \sqrt{C/L}}\approx 1-2\pi R \sqrt{C/L}, então a fração de energia perdida por ciclo é aproximadamente 2\pi R \sqrt{C/L}, um número pequeno.
Agora isolamos R. A condição acima é equivalente a
R \ll \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{L}{C}}.
Isto é a condição quantitativa estreita que garante perda de energia por ciclo pequena. Note que a desigualdade pedida no enunciado,
R \ll \sqrt{\frac{L}{C}},
é menos restritiva (mais frouxa) que a que acabamos de obter, porque
\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{L}{C}}\ll \sqrt{\frac{L}{C}}.
Ou seja, exigir R \ll \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{L/C} implica certamente R \ll \sqrt{L/C}. Portanto a condição do enunciado é satisfeita se a perda por ciclo for pequena — o enunciado usa uma forma simplificada (ignorando fatores numéricos 2\pi) que é comumente empregada para obter uma estimativa de ordem de grandeza.
Resumo da lógica: pequena perda por ciclo ⇒ 2\pi R\sqrt{C/L}\ll1 R\ll(1/2\pi)\sqrt{L/C}. Assim, como consequência prática e mais simples, R\ll\sqrt{L/C}.

Passo 5

Comentário didático e intuição final (rápida, para a prova):
  • Lembre-se: a amplitude decai como e^{-Rt/(2L)} e a energia como o quadrado disso. Para medir perda por ciclo, coloque t=T.
  • Substitua T=2\pi\sqrt{LC} para trazer L e C juntos; aí surge \sqrt{C/L} multiplicando R no expoente.
  • Requerer que o expoente seja pequeno dá uma desigualdade envolvendo R\sqrt{C/L}. Isolando R obtém-se a condição com \sqrt{L/C}. Em provas muitas vezes é aceitável ignorar constantes numéricas (como 2\pi) quando pedem uma condição de ordem de grandeza, daí a forma R\ll\sqrt{L/C}.

Resposta

(a) e^{-Rt/2L}=e^{-\pi R \sqrt{C/L}\,(t/T)}\n
(b) R \ll \sqrt{L/C}

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