Considere um circuito
amortecido. (a) Demonstre que o termo de amortecimento
(que envolve
, mas não
) pode ser reescrito numa forma mais simétrica (envolvendo
e
) como
. Nesta expressão T é o período de oscilação (desprezando a resistência). (b) Usando o item (a) demonstre que a condição para que a perda percentual de energia, por ciclo, seja pequena, é dada por:
.
Passo 1
O enunciado dá um circuito
amortecido e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que o fator de amortecimento temporal dado por
pode ser reescrito de forma que apareçam simetricamente e como , onde é o período de oscilação desprezando a resistência. - (b) Usando (a), demonstrar que a condição para que a perda percentual de energia por ciclo seja pequena é
.
Informações relevantes do enunciado (lista limpa):
- Fator de amortecimento (envelope da amplitude):
(já fornecido). -
é o período de oscilação do circuito desprezando a resistência (isto é, do circuito ideal). - Queremos relacionar
e de forma simétrica e obter uma condição sobre para perda de energia por ciclo pequena.
Passo 2
Noções básicas e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
- Num circuito
ideal (sem resistência) a pulsação natural é
Isto vem da equação do oscilador harmônico elétrico;
tem unidade rad/s e diz quão rápido as oscilações ocorrem.
- O período
(tempo de uma oscilação completa) está relacionado com por
Substituindo
obtemos a fórmula clássica do período do
:
Expliquei isso porque a expressão que queremos introduzir tem
e vai exigir substituir essa relação.
- Sobre energia: a energia total do circuito
é a soma das energias no capacitor e no indutor,
Para uma oscilação, a amplitude do sinal (tensão ou corrente) decai como
. Como a energia depende do quadrado das amplitudes (veja a forma acima), a energia total decai como o quadrado desse envelope, ou seja como
. Vou usar isso adiante para falar de perda por ciclo.
- Aproximação para pequenas perdas: se
é pequeno, . Usamos isso para estimar perda percentual quando o expoente é pequeno.
Passo 3
Demonstração algébrica da igualdade pedida em (a).
Queremos mostrar:
Começamos da expressão do período
:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Agora note que
Substituindo
nessa última igualdade:
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Portanto os expoentes coincidem, e assim
Isso conclui (a). Intuição: escrevemos
em unidades do número de ciclos (
) multiplicado por um fator que contém
, deixando
e
simetricamente presentes.
Passo 4
Agora a parte (b): usar (a) para obter a condição de pequena perda percentual de energia por ciclo.
Primeiro, amplitude por ciclo. Se tomarmos
(um ciclo), a redução da amplitude ao final de um ciclo é, por (a),
Como a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, o fator de energia por ciclo é
Para que a perda percentual de energia por ciclo seja pequena queremos que o expoente seja pequeno em módulo, isto é
Esta desigualdade garante que
, então a fração de energia perdida por ciclo é aproximadamente
, um número pequeno.
Agora isolamos
. A condição acima é equivalente a
Isto é a condição quantitativa estreita que garante perda de energia por ciclo pequena. Note que a desigualdade pedida no enunciado,
é menos restritiva (mais frouxa) que a que acabamos de obter, porque
Ou seja, exigir
implica certamente
. Portanto a condição do enunciado é satisfeita se a perda por ciclo for pequena — o enunciado usa uma forma simplificada (ignorando fatores numéricos
) que é comumente empregada para obter uma estimativa de ordem de grandeza.
Resumo da lógica: pequena perda por ciclo ⇒
⇒
. Assim, como consequência prática e mais simples,
.
Passo 5
Comentário didático e intuição final (rápida, para a prova):
- Lembre-se: a amplitude decai como
e a energia como o quadrado disso. Para medir perda por ciclo, coloque . - Substitua
para trazer e juntos; aí surge multiplicando no expoente. - Requerer que o expoente seja pequeno dá uma desigualdade envolvendo
. Isolando obtém-se a condição com . Em provas muitas vezes é aceitável ignorar constantes numéricas (como ) quando pedem uma condição de ordem de grandeza, daí a forma .
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)