CIRCUITO RC-DESCARGA - Resolva (integre-a) a equação diferencial para o descarregamento de um capacitor
em série com um resistor
e faça os gráficos da carga e da corrente em função do tempo (em sistemas de eixos distintos).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem um circuito simples: um resistor R em série com um capacitor C que está carregado com uma carga inicial
. Aí, no instante
, a gente deixa o capacitor descarregar só por esse resistor.
Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, separação de variáveis, expoencial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, separação de variáveis, expoencial.
O que vamos precisar:
- A Lei de Kirchhoff de tensões no circuito (soma das quedas de tensão = 0).
- A relação entre carga e voltagem no capacitor:
. - A relação entre corrente e carga:
. - Técnicas de integração de ODE de primeira ordem (separação de variáveis).
Passo 2
Vamos escrever a equação diferencial.
- Pela Lei de Kirchhoff: a queda de tensão no resistor (
) mais a do capacitor ( ) é zero:
2) Sabemos que
Então
- Dividindo tudo por
, fica:
Essa é a nossa ODE.
Passo 3
Agora a gente resolve por separação de variáveis.
Passo a separar
Integro dos dois lados:
onde
Passo 4
Para achar
, usamos a condição inicial: em
,
. Então
Assim
A gente costuma chamar
de “constante de tempo”. Então fica:
Passo 5
Agora a corrente
– lembrando que
:
O sinal “−” mostra que a corrente está saindo do capacitor. Se quiser só o módulo da corrente, basta tirar o sinal:
Gráficos (em dois eixos separados):
- q(t): começa em
quando e cai exponencialmente para zero. - i(t): começa em
em e também decai exponencialmente para zero.
Resposta
q(t) =
i(t) =
i(t) =