CIRCUITO RC-DESCARGA - Resolva (integre-a) a equação diferencial para o descarregamento de um capacitor C em série com um resistor R e faça os gráficos da carga e da corrente em função do tempo (em sistemas de eixos distintos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem um circuito simples: um resistor R em série com um capacitor C que está carregado com uma carga inicial Q0. Aí, no instante t=0, a gente deixa o capacitor descarregar só por esse resistor.
Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, separação de variáveis, expoencial.
O que vamos precisar:
  • A Lei de Kirchhoff de tensões no circuito (soma das quedas de tensão = 0).
  • A relação entre carga e voltagem no capacitor: VC = q/C.
  • A relação entre corrente e carga: i = dfracdqdt.
  • Técnicas de integração de ODE de primeira ordem (separação de variáveis).

Passo 2

Vamos escrever a equação diferencial.
  1. Pela Lei de Kirchhoff: a queda de tensão no resistor ( VR) mais a do capacitor ( VC) é zero:
VR + VC = 0
2) Sabemos que VR = i,R e VC = qC, e que i = dqdt.
Então
R,dqdt + qC = 0
  1. Dividindo tudo por R, fica:
dqdt + 1RC,q = 0
Essa é a nossa ODE.

Passo 3

Agora a gente resolve por separação de variáveis.
dqdt = -1RC,q
Passo a separar q e t:
dqq = -dtRC
Integro dos dois lados:
integral dqq = -integral dtRC Longrightarrow ln|q| = -tRC + K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Para achar K, usamos a condição inicial: em t=0, q(0)=Q0. Então
ln|Q0| = K
Assim
ln|q| = -tRC + ln Q0 Longrightarrow q(t) = Q0,e^-t/(RC)
A gente costuma chamar tau = RC de “constante de tempo”. Então fica:
boxedq(t) = Q0,e^-t/taucom tau=RC

Passo 5

Agora a corrente i(t) – lembrando que i = dqdt:
i(t) = ddtl(Q0 e^-t/(RC)r) = Q0l(-tfrac1RCr)e^-t/(RC) = -Q0RC,e^-t/(RC)
O sinal “−” mostra que a corrente está saindo do capacitor. Se quiser só o módulo da corrente, basta tirar o sinal:
|i(t)| = Q0RC,e^-t/(RC)
Gráficos (em dois eixos separados):
  1. q(t): começa em Q0 quando t=0 e cai exponencialmente para zero.
  2. i(t): começa em -tfracQ0RC em t=0 e também decai exponencialmente para zero.

Resposta

q(t) = Q0,e^-t/(RC)
i(t) = -dfracQ0RC,e^-t/(RC)

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