Uma tartaruga se arrasta em linha reta. A equação para a posição da tartaruga em função ppo é: x(t)=50+2 t-t^2. Onde a distância é medida em centímetros, e o tempo fgundos. (a) Determine a velocidade inicial, a posição inicial, e a aceleração inicial tartaruga. (b) Em qual instante a velocidade da tartaruga é zero? © Quanto tempo a tartaruga leva para retornar ao ponto de partida? (d) Em que posição a velocidade da tartaruga é zero?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma tartaruga que anda em linha reta e a posição dela em função do tempo é dada por
x(t)=50+2t - t^2,,
com x em centímetros e t em segundos.
Conteúdo: é cinemática escalar básica, ou seja, derivadas para achar velocidade e aceleração.
O que vamos precisar:
- Derivar x(t) pra obter a velocidade v(t).
- Derivar v(t) pra achar a aceleração a(t).
- Avaliar essas funções em t=0 pra ter as condições iniciais.
- Resolver equações do tipo v(t)=0 e x(t)=x(0) pra responder as perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
– Velocidade v(t) é a derivada de posição:
v(t)=dxdt,
– Aceleração a(t) é a derivada da velocidade:
a(t)=dvdt,
Agora derivando x(t)=50+2t - t^2:
v(t)=ddt(50+2t - t^2)=2 - 2t,
Daí a aceleração fica:
a(t)=ddt(2 - 2t)=-2,

Passo 3

Vamos achar os valores iniciais, ou seja, em t=0:
– Posição inicial:
x(0)=50+2cdot0 - 0^2=50 cm,
– Velocidade inicial:
v(0)=2 - 2cdot0=2 cm/s,
– Aceleração inicial:
a(0)=-2 cm/s^2,

Passo 4

(b) Queremos o instante em que a velocidade zera:
v(t)=2 - 2t=0 Longrightarrow 2=2t Longrightarrow t=1 s,

Passo 5

© Agora, pra saber quando ela volta ao ponto de partida, igualamos x(t) a x(0)=50:
50+2t - t^2 =50 Longrightarrow 2t - t^2=0 Longrightarrow t(2 - t)=0,
Soluções: t=0 (início) e t=2 s.
Então, pra “voltar”, consideramos t=2 s.

Passo 6

(d) Por fim, a posição em que a velocidade é zero: já vimos que isso ocorre em t=1 s. Basta calcular
x(1)=50+2cdot1 - 1^2=50+2-1=51 cm,

Resposta

(a) x(0)=50,cm, v(0)=2,cm/s, a(0)=-2,cm/s²
(b) t=1,s
© t=2,s
(d) x=51,cm

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