Em um circuito RL, o qual é descrito pela equação:
Use a solução da equação para mostrar que:
Em
a corrente é zero;
Em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito RL, que é composto por um indutor (L) e um resistor ®. A equação que descreve esse circuito é $ L \frac{d i}{d t} + R \cdot i = \varepsilon $, onde $ i $ é a corrente e $ \varepsilon $ é a força eletromotriz (a voltagem da fonte). Nosso objetivo é resolver essa equação para mostrar que, no instante inicial $ t = 0 $, a corrente $ i(0) $ é igual a zero. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a resolução. A equação dada é:
Podemos dividir todos os termos por $ L $ para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma $ \frac{d i}{d t} + P(t) i = Q(t) $, onde $ P(t) = \frac{R}{L} $ e $ Q(t) = \frac{\varepsilon}{L} $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{\frac{R}{L} t} \cdot i $. Para o lado direito, temos:
Portanto, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ i(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{R}{L} t} $:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 6
O exercício pede para mostrar que, em $ t = 0 $, a corrente $ i(0) $ é zero. Vamos aplicar essa condição na nossa solução:
Sabemos que $ i(0) = 0 $, então:
Passo 7
Substituindo o valor de $ C $ na solução geral, temos:
Essa é a solução completa para a corrente no circuito RL ao longo do tempo.
Resposta
Portanto, no instante inicial $ t = 0 $, a corrente é: