Em um circuito RL, o qual é descrito pela equação:
L d id t+R cdot i=varepsilon
Use a solução da equação para mostrar que:
Em t=0 a corrente é zero;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito RL, que é composto por um indutor (L) e um resistor ®. A equação que descreve esse circuito é $ L \frac{d i}{d t} + R \cdot i = \varepsilon $, onde $ i $ é a corrente e $ \varepsilon $ é a força eletromotriz (a voltagem da fonte). Nosso objetivo é resolver essa equação para mostrar que, no instante inicial $ t = 0 $, a corrente $ i(0) $ é igual a zero. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de primeira ordem e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a resolução. A equação dada é:
L d id t + R cdot i = varepsilon
Podemos dividir todos os termos por $ L $ para simplificar:
L
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma $ \frac{d i}{d t} + P(t) i = Q(t) $, onde $ P(t) = \frac{R}{L} $ e $ Q(t) = \frac{\varepsilon}{L} $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral RL , dt = e^RL t
Isso simplifica para:
e^RL t cdot d id t + e^RL t cdot RL cdot i = e^RL t cdot varepsilonL

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{\frac{R}{L} t} \cdot i $. Para o lado direito, temos:
integral dd t ( e^RL t cdot i ) dt = integral e^RL t cdot varepsilonL , dt
Portanto, a solução geral é:
e^RL t cdot i

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ i(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{R}{L} t} $:
i(t)
Aqui, $ C $ é a constante de integração que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 6

O exercício pede para mostrar que, em $ t = 0 $, a corrente $ i(0) $ é zero. Vamos aplicar essa condição na nossa solução:
t = 0
Sabemos que $ i(0) = 0 $, então:
i(0)

Passo 7

Substituindo o valor de $ C $ na solução geral, temos:
C
Essa é a solução completa para a corrente no circuito RL ao longo do tempo.

Resposta

Portanto, no instante inicial $ t = 0 $, a corrente é:
t = 0

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