Em um circuito RL, varepsilon=12 \mathrm{~V}, \mathrm{R}=3 \Omega \mathrm{e} \mathrm{L}=0,6 \mathrm{H}. A chave é fechada no instante \mathrm{t}=0. Para \mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s} determine:
A taxa de efeito joule.

Passo 1

O problema dá um circuito série RL com uma fonte que fornece \varepsilon=12\\ \mathrm{V}. A chave fecha em t=0. Os valores são:
\varepsilon=12\\ \mathrm{V},\quad R=3\\ \Omega,\quad L=0,6\\ \mathrm{H}.
A pergunta é: para t=0,5\\ \mathrm{s} determine a taxa de efeito joule (isto é, a potência dissipada no resistor) naquele instante.

Passo 2

Vamos entender o que significa “taxa de efeito joule”. No resistor, a potência dissipada por efeito Joule é dada por
P(t)=i^2(t)\,R,
onde i(t) é a corrente que passa pelo resistor no instante t e R é a resistência. Então nosso objetivo é achar i(t) em t=0,5\\ \mathrm{s} e depois calcular P(0,5)=i^2(0,5)\,R.

Passo 3

Agora a parte de como obter i(t). Ao fechar a chave em um circuito série com indutor L e resistência R alimentado por uma tensão constante \varepsilon, a corrente obedece à equação diferencial (Lei de Kirchhoff de tensão):
L\frac{di}{dt}+R\,i=\varepsilon.
As soluções desse tipo são bem conhecidas: a solução geral é soma da solução particular (estado estacionário) e da solução homogênea (transiente). A solução particular é a corrente final constante
i_{\infty}=\frac{\varepsilon}{R}.
A solução homogênea decai exponencialmente como e^{-Rt/L}. Aplicando a condição inicial i(0)=0 (antes de fechar a chave não havia corrente), obtemos a expressão padrão
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right).
Aqui explicando cada símbolo:
  • \varepsilon é a tensão da fonte (em volts),
  • R é a resistência (em ohms),
  • L é a indutância (em henrys),
  • t é o tempo (em segundos),
  • i(t) é a corrente no instante t.
É comum definir a constante de tempo
\tau=\frac{L}{R},
então também podemos escrever
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right).

Passo 4

Calculemos a constante de tempo com os números dados:
\tau=\frac{L}{R}=\frac{0,6}{3}=0,2\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora a corrente em t=0,5\\ \mathrm{s}. Usando \displaystyle i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),
i(0,5)=\frac{12}{3}\left(1-e^{-\frac{0,5}{0,2}}\right).
Primeiro calcule a razão do tempo:
\frac{0,5}{0,2}=2,5.
Logo
i(0,5)=4\left(1-e^{-2,5}\right).
Agora uma aproximação de e^{-2,5}. Podemos usar e^{-2,5}=e^{-2}\cdot e^{-0,5}. Sabendo e^{-2}\approx 0,1353 e e^{-0,5}\approx 0,6065, temos
e^{-2,5}\approx 0,1353\times 0,6065\approx 0,0821.
Portanto
1-e^{-2,5}\approx 1-0,0821=0,9179.
E
i(0,5)\approx 4\times 0,9179\approx 3,6716\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Finalmente calculamos a potência dissipada por Joule no resistor:
P(0,5)=i^2(0,5)\,R.
Substituindo os valores:
P(0,5)\approx (3,6716)^2\times 3.
Calculemos o quadrado:
(3,6716)^2\approx 13,486.
Multiplicando por R=3:
P(0,5)\approx 13,486\times 3\approx 40,459\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável, ficamos com P(0,5)\approx 40,46\\ \mathrm{W}.

Resposta

P(0,5\\ \mathrm{s})\approx 40,46\\ \mathrm{W}

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