Em um circuito RL, varepsilon=12 \mathrm{~V}, \mathrm{R}=3 \Omega \mathrm{e} \mathrm{L}=0,6 \mathrm{H}. A chave é fechada no instante \mathrm{t}=0. Para \mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s} determine:
A taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor.
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
Fonte: \varepsilon = 12\\ \mathrm{V}.\n
Resistência: R = 3\\ \Omega.\n
Indutância: L = 0,6\\ \mathrm{H}.\n
A chave é fechada em t=0. Deseja-se, para t=0,5\\ \mathrm{s}, a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor (ou seja, a potência que está indo para energia magnética do indutor nesse instante).\n
Passo 2
Equação do circuito e expressão para a corrente no regime transiente — passo a passo didático:\n
Quando a chave é fechada temos o circuito série com lei das malhas: a tensão da fonte é igual à soma das quedas em R e em L. Escrevemos a equação diferencial válida para todo t\ge0:
Isto é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Uma forma direta de obter a solução, que é padrão para circuitos RL, é usar a constante de tempo \tau e a solução conhecida. Definimos:
Aqui \frac{\varepsilon}{R} é a corrente final em regime permanente e e^{-t/\tau} descreve como a corrente se aproxima dessa corrente final em função do tempo.
Passo 3
Calcular a constante de tempo e a corrente em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
Primeiro a constante de tempo:
Calcular \dfrac{di}{dt} em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
A derivada de i(t) pode ser obtida diretamente:
\frac{di}{dt}=\frac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}.
Explicando: diferenciar i(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^{-t/\tau}) dá o fator \dfrac{1}{\tau}=\dfrac{R}{L} que simplifica com \dfrac{\varepsilon}{R}, resultando em \dfrac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}.\n
Agora numérico: \dfrac{\varepsilon}{L}=\dfrac{12}{0{,}6}=20\\ \mathrm{A/s}. Então
Observação física: isso também é igual ao produto da queda de tensão no indutor v_L=L\,di/dt pela corrente i: P=v_L i. Se for positivo, a energia do indutor está aumentando; se fosse negativo, o indutor estaria fornecendo energia ao circuito.
Passo 6
Calcular numericamente a potência armazenada em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
Usando os valores obtidos: