Em um circuito RL, varepsilon=12 \mathrm{~V}, \mathrm{R}=3 \Omega \mathrm{e} \mathrm{L}=0,6 \mathrm{H}. A chave é fechada no instante \mathrm{t}=0. Para \mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s} determine:
A taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
  • Fonte: \varepsilon = 12\\ \mathrm{V}.\n
  • Resistência: R = 3\\ \Omega.\n
  • Indutância: L = 0,6\\ \mathrm{H}.\n
  • A chave é fechada em t=0. Deseja-se, para t=0,5\\ \mathrm{s}, a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor (ou seja, a potência que está indo para energia magnética do indutor nesse instante).\n

Passo 2

Equação do circuito e expressão para a corrente no regime transiente — passo a passo didático:\n
Quando a chave é fechada temos o circuito série com lei das malhas: a tensão da fonte é igual à soma das quedas em R e em L. Escrevemos a equação diferencial válida para todo t\ge0:
\varepsilon - R\,i(t) - L\frac{di}{dt}=0.
Rearranjando:
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i(t) = \frac{\varepsilon}{L}.
Isto é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Uma forma direta de obter a solução, que é padrão para circuitos RL, é usar a constante de tempo \tau e a solução conhecida. Definimos:
\tau = \frac{L}{R}.
A solução com condição inicial i(0)=0 é
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Aqui \frac{\varepsilon}{R} é a corrente final em regime permanente e e^{-t/\tau} descreve como a corrente se aproxima dessa corrente final em função do tempo.

Passo 3

Calcular a constante de tempo e a corrente em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
Primeiro a constante de tempo:
\tau=\frac{L}{R}=\frac{0{,}6}{3}=0{,}2\\ \mathrm{s}.
A corrente de regime permanente seria \varepsilon/R = 12/3 = 4\\ \mathrm{A}. Portanto
i(t)=4\left(1-e^{-t/0{,}2}\right).
Em t=0{,}5\\ \mathrm{s} temos t/\tau=0{,}5/0{,}2=2{,}5, logo
i(0{,}5)=4\left(1-e^{-2{,}5}\right).
Usando e^{-2{,}5}\approx 0{,}082085 obtemos
i(0{,}5)\approx 4(1-0{,}082085)=4(0{,}917915)\approx 3{,}67166\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular \dfrac{di}{dt} em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
A derivada de i(t) pode ser obtida diretamente:
\frac{di}{dt}=\frac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}.
Explicando: diferenciar i(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^{-t/\tau}) dá o fator \dfrac{1}{\tau}=\dfrac{R}{L} que simplifica com \dfrac{\varepsilon}{R}, resultando em \dfrac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau}.\n
Agora numérico: \dfrac{\varepsilon}{L}=\dfrac{12}{0{,}6}=20\\ \mathrm{A/s}. Então
\frac{di}{dt}\Big|_{t=0{,}5}=20\,e^{-2{,}5}\approx 20(0{,}082085)\approx 1{,}64170\\ \mathrm{A/s}.

Passo 5

Fórmula da potência que está sendo armazenada no indutor e interpretação:\n
A energia magnética armazenada no indutor é
U(t)=\frac{1}{2}L\,i(t)^2.
A taxa de variação desta energia, isto é, a potência que vai para aumentar a energia do indutor, é
P_{\text{armazenada}}(t)=\frac{dU}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L i^2\right)=L\,i(t)\frac{di}{dt}.
Observação física: isso também é igual ao produto da queda de tensão no indutor v_L=L\,di/dt pela corrente i: P=v_L i. Se for positivo, a energia do indutor está aumentando; se fosse negativo, o indutor estaria fornecendo energia ao circuito.

Passo 6

Calcular numericamente a potência armazenada em t=0{,}5\\ \mathrm{s}:\n
Usando os valores obtidos:
i(0{,}5)\approx 3{,}67166\\ \mathrm{A},\qquad \frac{di}{dt}\Big|_{0{,}5}\approx 1{,}64170\\ \mathrm{A/s}.
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P_{\text{armazenada}}(0{,}5)=L\,i(0{,}5)\frac{di}{dt}\Big|_{0{,}5} =0{,}6\cdot 3{,}67166\cdot 1{,}64170.
Fazendo as contas:
0{,}6\cdot 3{,}67166\cdot 1{,}64170\approx 3{,}61666\\ \mathrm{W}.
Arredondando com dois algarismos significativos depois da vírgula:
P_{\text{armazenada}}(0{,}5)\approx 3{,}62\\ \mathrm{W}.

Resposta

3,62\\ \mathrm{W}

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