Um fio reto e longo, isto é, fino com raio muito menor que seu comprimento (a << I), transporta uma corrente elétrica
uniformemente distribuída ao longo de sua seção transversal circular. Determine o campo magnético produzido por esta corrente em pontos. Dado.
:
a) dentro (
) e fora (
) do fio;
b) esboce o campo magnético em função da distância;
c) a força por unidade de comprimento (F/I) entre este e outro fio idêntico, colocado paralelamente ao primeiro a uma distância 4a, percorrido por uma corrente
, no mesmo sentido.
a) dentro (
b) esboce o campo magnético em função da distância;
c) a força por unidade de comprimento (F/I) entre este e outro fio idêntico, colocado paralelamente ao primeiro a uma distância 4a, percorrido por uma corrente
Passo 1
O enunciado dá um fio cilíndrico de raio
e corrente total no fio
, com corrente distribuída uniformemente na seção transversal circular. A constante magnética é
. Perguntas a responder:
- Determinar o campo magnético produzido pelo fio em pontos (a) dentro do fio (
) e fora do fio ( ). - Esboçar o comportamento do campo magnético em função da distância radial
ao eixo do fio. - Calcular a força por unidade de comprimento
entre este fio e outro fio idêntico, paralelo, com centros separados por , percorrido por no mesmo sentido.
Passo 2
Entendendo a simetria e a ideia física (aula rápida). O fio é longo e simétrico em torno do eixo, então o campo magnético resultante tem mesma intensidade em todos os pontos equidistantes do eixo e é tangencial (circunferência) em torno do eixo (direção azimutal, isto é
). Essa simetria permite usar um laço circular de raio
concêntrico com o fio para aplicar a lei de Ampère no seu formato integral:
Aqui
é a integral do campo magnético ao longo do caminho fechado (a circunferência de raio
), e
é a corrente total atravessando a área limitada por esse caminho. Pela simetria
tem módulo constante ao longo da circunferência e é tangente, logo a integral vira
.
Passo 3
Calcular a densidade de corrente quando a corrente está uniformemente distribuída. A densidade de corrente de volume (na seção) é a corrente total dividida pela área da seção:
Se escolhemos um raio
dentro do fio (
), a corrente encerrada por uma circunferência de raio
é a densidade vezes a área dessa seção menor:
Passo 4
Aplicar a lei de Ampère para
(dentro do fio). Substituindo
na expressão
obtemos:
Isolando
vem
Comentário didático: aqui o campo cresce linearmente com
porque, ao aumentar
, aumenta a corrente interior proporcional à área
, mas a integral ao redor tem fator
, resultando em
.
Passo 5
Aplicar a lei de Ampère para
(fora do fio). Para
toda a corrente do fio está dentro do laço, então
. Pela mesma relação:
logo
Comentário didático: fora do fio o comportamento é o mesmo de um fio “fino” com toda a corrente concentrada no eixo; o campo decai como
.
Passo 6
Verificar continuidade e direção do campo no bordo
. Substituindo
na expressão interna obtemos:
Substituindo
na expressão externa obtemos:
Portanto
é contínuo em
. A direção em todos os casos é tangencial ao redor do fio, dada pela regra da mão direita (se a corrente aponta para cima, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima).
Passo 7
Esboço descritivo do campo
(como desenhar na prova). Eixos: abscissa
(em unidades de
), ordenada
. Para
a curva é uma reta passando por
e por
. Para
a curva decai como hipérbole
, passando pelo mesmo ponto em
. Assim o gráfico é: crescimento linear até
, máximo local em
(valor dado acima) e decaimento
depois. Na prova, marque claramente a tangência em
(
) e a continuidade em
.
Passo 8
Calcular a força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos. A força por unidade de comprimento sobre o segundo fio é dada por
, onde
é o campo produzido pelo fio 1 no lugar onde está o fio 2 (distância entre centros
). Usamos a expressão externa porque
:
Como
,
Direção: fios com correntes no mesmo sentido se atraem, portanto a força é de atração (vetor dirigido para o outro fio).
Passo 9
Observações finais didáticas e dicas para a prova. - Sempre verifique a simetria antes de aplicar Ampère: aqui simetria cilíndrica implica
tangencial e função só de
. - Para correntes uniformes, calcule primeiro
se precisar de
. - Em problemas com fios paralelos use
quando ambos podem ser tratados como condutores finos (ou equivalently
com
calculado fora do fio). Isso evita rederivações repetidas.
Resposta
(a)
(b) cresce linearmente com
para
(
e
), e para
decai como
(hipérbole) passando pelo mesmo valor em
.
(c) (força de atração, pois as correntes têm o mesmo sentido).
(b)
(c)