Um fio reto e longo, isto é, fino com raio muito menor que seu comprimento (a << I), transporta uma corrente elétrica \mathrm{I}_{1}=\mathrm{I}_{0} uniformemente distribuída ao longo de sua seção transversal circular. Determine o campo magnético produzido por esta corrente em pontos. Dado. \mu_{0}=4 \pi .10^{-7}(T m / A) :
a) dentro ( r<a ) e fora ( r>a ) do fio;
b) esboce o campo magnético em função da distância;
c) a força por unidade de comprimento (F/I) entre este e outro fio idêntico, colocado paralelamente ao primeiro a uma distância 4a, percorrido por uma corrente I_{2}=2 I_{0}, no mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de raio a e corrente total no fio \mathrm{I}_{1}=\mathrm{I}_{0}, com corrente distribuída uniformemente na seção transversal circular. A constante magnética é \mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}\\ (\mathrm{T\,m/A}). Perguntas a responder:
  1. Determinar o campo magnético produzido pelo fio em pontos (a) dentro do fio ( r<a) e fora do fio ( r>a).
  2. Esboçar o comportamento do campo magnético em função da distância radial r ao eixo do fio.
  3. Calcular a força por unidade de comprimento \mathrm{F}/\ell entre este fio e outro fio idêntico, paralelo, com centros separados por d=4a, percorrido por \mathrm{I}_{2}=2\mathrm{I}_{0} no mesmo sentido.

Passo 2

Entendendo a simetria e a ideia física (aula rápida). O fio é longo e simétrico em torno do eixo, então o campo magnético resultante tem mesma intensidade em todos os pontos equidistantes do eixo e é tangencial (circunferência) em torno do eixo (direção azimutal, isto é \hat{\varphi}). Essa simetria permite usar um laço circular de raio r concêntrico com o fio para aplicar a lei de Ampère no seu formato integral:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
Aqui \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} é a integral do campo magnético ao longo do caminho fechado (a circunferência de raio r), e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área limitada por esse caminho. Pela simetria \mathbf{B} tem módulo constante ao longo da circunferência e é tangente, logo a integral vira B(2\pi r).

Passo 3

Calcular a densidade de corrente quando a corrente está uniformemente distribuída. A densidade de corrente de volume (na seção) é a corrente total dividida pela área da seção:
J=\frac{I_{0}}{\pi a^{2}}.
Se escolhemos um raio r dentro do fio ( r<a), a corrente encerrada por uma circunferência de raio r é a densidade vezes a área dessa seção menor:
I_{\text{enc}}(r)=J\cdot \pi r^{2}=\frac{I_{0}}{\pi a^{2}}\cdot \pi r^{2}=I_{0}\frac{r^{2}}{a^{2}}.

Passo 4

Aplicar a lei de Ampère para r<a (dentro do fio). Substituindo I_{\text{enc}}(r) na expressão \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B(2\pi r)=\mu_{0}I_{\text{enc}}(r) obtemos:
B(2\pi r)=\mu_{0} I_{0}\frac{r^{2}}{a^{2}}.
Isolando B vem
B(r)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi}\frac{r}{a^{2}}\qquad\text{para }r<a.
Comentário didático: aqui o campo cresce linearmente com r porque, ao aumentar r, aumenta a corrente interior proporcional à área \propto r^{2}, mas a integral ao redor tem fator 2\pi r, resultando em B\propto r.

Passo 5

Aplicar a lei de Ampère para r>a (fora do fio). Para r>a toda a corrente do fio está dentro do laço, então I_{\text{enc}}=I_{0}. Pela mesma relação:
B(2\pi r)=\mu_{0} I_{0},
logo
B(r)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi r}\qquad\text{para }r>a.
Comentário didático: fora do fio o comportamento é o mesmo de um fio “fino” com toda a corrente concentrada no eixo; o campo decai como 1/r.

Passo 6

Verificar continuidade e direção do campo no bordo r=a. Substituindo r=a na expressão interna obtemos:
B(a^{-})=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi}\frac{a}{a^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi a}.
Substituindo r=a na expressão externa obtemos:
B(a^{+})=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi a}.
Portanto B é contínuo em r=a. A direção em todos os casos é tangencial ao redor do fio, dada pela regra da mão direita (se a corrente aponta para cima, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima).

Passo 7

Esboço descritivo do campo B(r) (como desenhar na prova). Eixos: abscissa r (em unidades de a), ordenada B. Para 0\le r\le a a curva é uma reta passando por B(0)=0 e por B(a)=\dfrac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi a}. Para r\ge a a curva decai como hipérbole B\propto 1/r, passando pelo mesmo ponto em r=a. Assim o gráfico é: crescimento linear até r=a, máximo local em r=a (valor dado acima) e decaimento 1/r depois. Na prova, marque claramente a tangência em r=0 ( B(0)=0 ) e a continuidade em r=a.

Passo 8

Calcular a força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos. A força por unidade de comprimento sobre o segundo fio é dada por \dfrac{F}{\ell}=I_{2} B_{1}(d), onde B_{1}(d) é o campo produzido pelo fio 1 no lugar onde está o fio 2 (distância entre centros d=4a). Usamos a expressão externa porque d=4a>a:
B_{1}(d)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi d}=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi (4a)}=\frac{\mu_{0} I_{0}}{8\pi a}.
Como I_{2}=2I_{0},
\frac{F}{\ell}=I_{2}B_{1}(d)=2I_{0}\cdot\frac{\mu_{0} I_{0}}{8\pi a}=\frac{\mu_{0} I_{0}^{2}}{4\pi a}.
Direção: fios com correntes no mesmo sentido se atraem, portanto a força é de atração (vetor dirigido para o outro fio).

Passo 9

Observações finais didáticas e dicas para a prova. - Sempre verifique a simetria antes de aplicar Ampère: aqui simetria cilíndrica implica \mathbf{B} tangencial e função só de r. - Para correntes uniformes, calcule primeiro J=I/\text{área}á se precisar de I_{\text{enc}}(r). - Em problemas com fios paralelos use \dfrac{F}{\ell}= \dfrac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2\pi d} quando ambos podem ser tratados como condutores finos (ou equivalently I_{2}B_{1} com B_{1} calculado fora do fio). Isso evita rederivações repetidas.

Resposta

(a) \displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi}\frac{r}{a^{2}}\quad\text{para }r<a;\quad B(r)=\frac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi r}\quad\text{para }r>a.
(b) B(r) cresce linearmente com r para 0\le r\le a ( B(0)=0 e B(a)=\dfrac{\mu_{0} I_{0}}{2\pi a} ), e para r\ge a decai como 1/r (hipérbole) passando pelo mesmo valor em r=a.
(c) \displaystyle \frac{F}{\ell}=\frac{\mu_{0} I_{0}^{2}}{4\pi a} (força de atração, pois as correntes têm o mesmo sentido).

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