Suponha que a temperatura da sala seja dada por
e que você está localizado em
. Se você quiser se resfriar o mais rápido possível, em que direção você deveria caminhar? E qual seria a taxa de variação da temperatura nessa direção?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da sala como
e pede a direção de resfriamento mais rápido no ponto
.
Para resolver, vamos usar o fato de que o gradiente de dá a direção de aumento máximo, e seu negativo é a direção de diminuição máxima. Também usaremos o derivada direcional em uma dada direção.
Para resolver, vamos usar o fato de que o gradiente de
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
,
Passo 3
A direção de resfriamento mais rápido é
. Assim, um vetor nessa direção é
Para obter a direção, normalizamos esse vetor. A sua norma é
Logo o vetor unitário na direção de resfriamento é
Passo 4
A taxa de variação da temperatura nessa direção é a derivada direcional
Fazendo o produto escalar,
Resposta
A direção de resfriamento mais rápido é
e a taxa de variação da temperatura nessa direção é
.
e a taxa de variação da temperatura nessa direção é