Suponha que a temperatura da sala seja dada por
T(x, y, z)=3 x^{2}-5 y^{2}+2 z^{2}
e que você está localizado em \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, 0\right). Se você quiser se resfriar o mais rápido possível, em que direção você deveria caminhar? E qual seria a taxa de variação da temperatura nessa direção?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da sala como
T(x,y,z)=3x^{2}-5y^{2}+2z^{2}
e pede a direção de resfriamento mais rápido no ponto
\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},0\bigr).
Para resolver, vamos usar o fato de que o gradiente de T dá a direção de aumento máximo, e seu negativo é a direção de diminuição máxima. Também usaremos o derivada direcional em uma dada direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T:
\nabla T(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z}\Bigr) = (6x,\,-10y,\,4z).
No ponto \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},0\bigr),
\nabla T\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},0\bigr) =(6\cdot\tfrac{1}{3},\,-10\cdot\tfrac{1}{5},\,4\cdot0) =(2,\,-2,\,0).

Passo 3

A direção de resfriamento mais rápido é -\nabla T. Assim, um vetor nessa direção é
-\nabla T\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},0\bigr)=(-2,2,0).
Para obter a direção, normalizamos esse vetor. A sua norma é
\|(-2,2,0)\|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+0^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário na direção de resfriamento é
\mathbf{u} =\frac{(-2,2,0)}{2\sqrt{2}} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0\Bigr).

Passo 4

A taxa de variação da temperatura nessa direção é a derivada direcional
D_{\mathbf{u}}T =\nabla T\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},0\bigr)\cdot\mathbf{u} =(2,-2,0)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\Bigr).
Fazendo o produto escalar,
D_{\mathbf{u}}T =2\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) +(-2)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =-\tfrac{2}{\sqrt{2}}-\tfrac{2}{\sqrt{2}} =-\tfrac{4}{\sqrt{2}} =-2\sqrt{2}.

Resposta

A direção de resfriamento mais rápido é
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\bigr)
e a taxa de variação da temperatura nessa direção é
-2\sqrt{2}.

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