Num circuito RLC forçado R = 200 \Omega, \mathrm{C}=15,0 \mu \mathrm{~F}, \mathrm{~L}=230 \mathrm{mH}, f_{\mathrm{d}}=60,0 Hz e \xi_{\mathrm{m}}=36,0 \mathrm{~V}. Qual é a amplitude I da corrente?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a amplitude da corrente no regime forçado:
R = 200\\ \Omega
C = 15{,}0\\ \mu\mathrm{F}
L = 230\\ \mathrm{mH}
f_{\mathrm{d}} = 60{,}0\\ \mathrm{Hz}
\xi_{\mathrm{m}} = 36{,}0\\ \mathrm{V}
Pergunta: qual é a amplitude I da corrente (no regime estacionário senoidal)?

Passo 2

Estratégia e fórmulas fundamentais (sem ainda calcular): num circuito RLC série forçado em regime senoidal estacionário a amplitude da corrente é dada por
I=\frac{\xi_{\mathrm{m}}}{\lvert Z\rvert},
onde \lvert Z\rvert é o módulo da impedância série. A impedância complexa do circuito é
Z = R + j\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr),
com as reatâncias
X_{L}=\omega L,\qquad X_{C}=\frac{1}{\omega C},
e \omega é a pulsação da fonte:
\omega=2\pi f_{\mathrm{d}}.
Explicação curta das variáveis: \xi_{\mathrm{m}} é a amplitude da tensão aplicada (volts), R é a resistência (ohms), L é a indutância (henry), C é a capacitância (farad), \omega é em rad/s, X_L e X_C são reatâncias em ohms; j é a unidade imaginária (aqui só precisamos do módulo).

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
\omega = 2\pi f_{\mathrm{d}} = 2\pi\cdot 60{,}0 = 120\pi \approx 376{,}9911184\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Converter L e calcular X_{L}. Temos L=230\\ \mathrm{mH}=0{,}230\\ \mathrm{H}. Então
X_{L}=\omega L = 376{,}9911184\cdot 0{,}230 \approx 86{,}7079572\\ \Omega.
(interpret: X_L é a “resistência” efetiva da bobina à variação senoidal.)

Passo 5

Converter C e calcular X_{C}. Temos C=15{,}0\\ \mu\mathrm{F}=15{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}=0{,}000015\\ \mathrm{F}. Primeiro \omega C:
\omega C = 376{,}9911184\cdot 0{,}000015 \approx 0{,}0056548668.
Portanto
X_{C}=\frac{1}{\omega C}\approx \frac{1}{0{,}0056548668}\approx 176{,}7766953\\ \Omega.
(interpret: X_C é a reatância capacitiva; é grande porque C é pequena.)

Passo 6

Calcular a reatância líquida X (indutiva menos capacitiva):
X = X_{L}-X_{C} \approx 86{,}7079572 - 176{,}7766953 \approx -90{,}0687381\\ \Omega.
O sinal negativo indica que, no conjunto, a parte capacitiva domina (corrente tende a liderar a tensão).

Passo 7

Calcular o módulo da impedância \lvert Z\rvert:
\lvert Z\rvert = \sqrt{R^{2}+X^{2}} = \sqrt{(200)^{2}+(-90{,}0687381)^{2}}.
Calculemos:
R^{2}=200^{2}=40000,
X^{2}\approx (90{,}0687381)^{2}\approx 8112{,}3776,
\lvert Z\rvert \approx \sqrt{40000+8112{,}3776}=\sqrt{48112{,}3776}\approx 219{,}346\\ \Omega.

Passo 8

Finalmente, amplitude da corrente:
I=\frac{\xi_{\mathrm{m}}}{\lvert Z\rvert}=\frac{36{,}0}{219{,}346}\approx 0{,}1641\\ \mathrm{A}.
Arredondando com três algarismos significativos: I\approx 0{,}164\\ \mathrm{A}.
Força aí — você já sabe como fazer esse tipo de conta na prova: calcula \omega, as reatâncias \,X_L e \,X_C, obtém |Z| e divide a tensão pelo módulo da impedância.

Resposta

I=0{,}164\\ \mathrm{A}

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