Num circuito RLC forçado R = 200 \Omega, \mathrm{C}=15,0 \mu \mathrm{~F}, \mathrm{~L}=230 \mathrm{mH}, f_{\mathrm{d}}=60,0 Hz e \xi_{\mathrm{m}}=36,0 \mathrm{~V}. Qual a constante de fase \varphi da corrente no circuito em relação a força eletromotriz aplicada?

Passo 1

O enunciado pede a constante de fase \varphi da corrente no circuito RLC série em relação à força eletromotriz aplicada. Dados fornecidos:
R=200\\ \Omega,
C=15{,}0\\ \mu\mathrm{F}=15{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
L=230\\ \mathrm{mH}=0{,}230\\ \mathrm{H},
f_{\mathrm{d}}=60{,}0\\ \mathrm{Hz},
\xi_{\mathrm{m}}=36{,}0\\ \mathrm{V}.
O que se pede: a fase \varphi da corrente em relação à tensão aplicada (ou seja, o ângulo entre a corrente e a força eletromotriz).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Em regime estacionário forçado por uma tensão senoidal, é conveniente trabalhar com fasores. Para um circuito série RLC a impedância complexa é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr),
onde j é a unidade imaginária (fase de +90^\circ) e
X_L=\omega L\quad\text{(reatância indutiva)},â
X_C=\frac{1}{\omega C}\quad\text{(reatância capacitiva)}.â
  • A corrente fasorial é \tilde{I}=\tilde{E}/Z. Se tomarmos a tensão aplicada como referência angular zero ( \tilde{E} com ângulo 0), o ângulo da corrente é -\arg(Z).
  • Definimos a constante de fase \varphi segundo a forma usual
i(t)=I_{\mathrm{m}}\cos\bigl(\omega t-\varphi\bigr),
onde \varphi é o ângulo pelo qual a corrente atrasa a tensão. Com essa convenção vale
\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}.
Observação sobre sinal: se X_L-X_C>0 então \varphi>0 (circuito indutivo → corrente atrasa a tensão). Se X_L-X_C<0 então \varphi<0 (circuito capacitivo → corrente adianta/antecipa a tensão).

Passo 3

Calculemos a pulsação angular \omega:
\omega = 2\pi f_{\mathrm{d}} = 2\pi\cdot60{,}0 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}991\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcule a reatância indutiva X_L:
X_L=\omega L = 376{,}991\cdot 0{,}230 \approx 86{,}809\\ \Omega.
Expliquei: multiplica-se a pulsação \omega pelo valor da indutância L. Unidade: \mathrm{rad/s}\times\mathrm{H}=\Omega.

Passo 5

Calcule a reatância capacitiva X_C:
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{376{,}991\cdot 15{,}0\times10^{-6}}.
Primeiro compute o produto no denominador:
376{,}991\cdot 15{,}0\times10^{-6}=0{,}00565487\\ \text{(aprox.)}
Logo
X_C\approx \frac{1}{0{,}00565487}\approx 176{,}833\\ \Omega.
Expliquei: para capacitores a reatância é inversa de \omega C; quanto maior a frequência ou a capacitância, menor X_C.

Passo 6

Calcule a reatância líquida X=X_L-X_C:
X=86{,}809-176{,}833=-90{,}024\\ \Omega\quad(\text{aprox. }-90{,}02\\ \Omega).
Interpretação rápida: X é negativo, então o circuito está dominado pela componente capacitiva — esperamos que a corrente antecipe a tensão (fase negativa conforme nossa convenção).

Passo 7

Use a relação para \varphi:
\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}=\frac{-90{,}024}{200}=-0{,}45012\\ (\text{aprox.}).
Agora aplicamos arco-tangente:
\varphi=\arctan(-0{,}45012)\approx -24{,}29^\circ.
Em radianos:
\varphi\approx -0{,}4243\\ \text{rad}.
Expliquei: a função \arctan nos dá o ângulo cujo tangente é o número dado; o sinal negativo indica que a corrente está adiantada em relação à tensão (porque adotamos a forma i(t)=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t-\varphi)).

Passo 8

Interpretação final (resumindo para a prova, do jeito que você pode escrever): escreva que
\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}\quad\Rightarrow\quad \varphi=\arctan\!\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right),
e substitua os valores calculados para obter \varphi\approx -24{,}3^\circ (ou -0{,}424 rad). Frase curta para a prova: “A corrente antecipa a tensão em 24{,}3^\circ (ou \varphi=-24{,}3^\circ).” Força aí, você já tem o procedimento pronto para qualquer exercício parecido!

Resposta

\varphi\approx -24{,}3^\circ
\varphi\approx -0{,}424\\ \mathrm{rad}

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