Qual é a relação de fase entre as formas de onda senoidais em cada um dos seguintes pares?
i=-\operatorname{sen}\left(\omega t+30^{\circ}\right)
v=2 \operatorname{sen}\left(\omega t+10^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas formas de onda senoidais e pede a relação de fase entre elas. Dados fornecidos:
i = -\operatorname{sen}\left(\omega t + 30^{\circ}\right)
v = 2\operatorname{sen}\left(\omega t + 10^{\circ}\right)
Pergunta implícita: qual é a diferença de fase entre v e i e qual delas está adiantada (lead) ou atrasada (lag) em relação à outra?

Passo 2

Conceito importante: uma senoide genérica pode ser escrita como
A\sin\left(\omega t + \varphi\right),
onde A é a amplitude (quanto vale o pico), \omega é a frequência angular (quanto ela oscila no tempo) e \varphi é a fase (um deslocamento no tempo expresso em graus ou radianos). A fase determina “quem chega antes” na comparação entre duas senoides com mesma \omega: se \varphi_1>\varphi_2, a primeira senoide está adiantada (leads) em relação à segunda por \varphi_1-\varphi_2; se \varphi_1<\varphi_2, a primeira está atrasada (lags).

Passo 3

Observação sobre sinal negativo: a identidade trigonométrica
-\sin(x)=\sin(x-180^{\circ})
é útil aqui, porque subtrair 180^{\circ} inverte o sinal do seno (ou, equivalentemente, somar 180^{\circ} também inverte o sinal, modulo 360^{\circ}). Isto vem de \sin(x-180^{\circ})=\sin(x-\pi)=-\sin x.

Passo 4

Usando a identidade do passo anterior, reescrevemos i como uma senoide sem o sinal negativo explícito:
i = -\operatorname{sen}\left(\omega t + 30^{\circ}\right) = \operatorname{sen}\left(\omega t + 30^{\circ} - 180^{\circ}\right) = \operatorname{sen}\left(\omega t - 150^{\circ}\right).
Portanto a fase associada a i é \varphi_i = -150^{\circ}. A fase de v é diretamente \varphi_v = 10^{\circ} (a amplitude 2 não altera a fase).

Passo 5

Calculamos a diferença de fase tomando \varphi_v-\varphi_i:
\Delta\varphi = \varphi_v - \varphi_i = 10^{\circ} - (-150^{\circ}) = 160^{\circ}.
Um \Delta\varphi positivo significa que v está adiantada em relação a i por 160^{\circ}. Equivalentemente, i está atrasada em relação a v por 160^{\circ}.

Passo 6

Comentário prático: ângulos de fase são definidos módulo 360^{\circ}. Aqui -150^{\circ} equivale a 210^{\circ} (porque -150^{\circ}+360^{\circ}=210^{\circ}), e a diferença 10^{\circ}-210^{\circ}=-200^{\circ} é congruente com 160^{\circ} módulo 360^{\circ}. Preferimos reportar a diferença como 160^{\circ} (valor absoluto menor que 180^{\circ}), que é mais intuitivo para indicar lead/lag.

Resposta

v está adiantada em relação a i por 160^{\circ}.
i está atrasada em relação a v por 160^{\circ}.

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