- Um satélite de massa
descreve uma órbita circular a uma altura de 90 km sobre a superfície do planeta P de raio 160 km e massa M . i) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. ii) Se o satélite perde, subitamente,
da sua velocidade, com que velocidade atingirá a superfície do planeta?
Considere o produto
.
Considere o produto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (i) Determinar a velocidade do satélite numa órbita circular a
acima da superfície do planeta . - (ii) Se o satélite perde subitamente
da sua velocidade orbital, determinar com que velocidade ele atingirá a superfície do planeta.
Informações fornecidas (vou listar todas, para a gente não se perder):
(massa do satélite),
(raio do planeta
),
(altura da órbita acima da superfície),
(produto gravitacional do planeta).
A partir disso o raio da órbita é
A partir disso o raio da órbita é
Nada mais será assumido além do enunciado.
Passo 2
Vamos resolver (i): velocidade numa órbita circular. Conceito/derivação rápida e didática:
- Um corpo em órbita circular está em movimento com velocidade
tal que a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. - Força gravitacional (lei de Newton):
, onde é a massa do planeta e a do satélite. - Força centrípeta (movimento circular):
.
Igualando as duas (pois a gravidade é a força que mantém o satélite na órbita),
Explicação das variáveis:
constante gravitacional,
massa do planeta,
massa do satélite,
raio da órbita,
velocidade orbital. Note que
aparece dos dois lados e cancela, então a velocidade não depende da massa do satélite.
Simplificando:
Simplificando:
Agora substituímos numericamente com
e
:
Portanto
Pequeno comentário prático: a ordem de grandeza é alta porque o planeta é muito pequeno (pequeno
e grande
relativo), então velocidades orbitais ficam grandes em km/s.
Passo 3
Agora (ii): o satélite perde subitamente
da sua velocidade. Primeiro cálculo da velocidade imediatamente após a perda:
Com
,
Explicando a física: a perda de velocidade é instantânea (um choque, por exemplo). A energia mecânica depois do choque é a que determina a trajetória subsequente. Supondo que não haja nenhuma outra dissipação além dessa quebra instantânea, a energia mecânica do satélite depois do choque é conservada durante a queda até o impacto (isto é, trocas entre energia cinética e potencial gravitacional acontecem, mas a soma energia mecânica total é constante).
Passo 4
Aplicamos conservação da energia mecânica entre o instante logo após a perda de velocidade (no raio
) e o instante do impacto na superfície (raio
). Energia mecânica total (por unidade de massa, para simplificar) é
Para o estado inicial pós-choque (raio
) usamos
; para o estado final na superfície (raio
) usamos a velocidade de impacto
. Igualando energias por unidade de massa (o
também cancela):
Isolando
:
Agora substituímos numericamente. Já temos
, então
.
Calculamos a parcela gravitacional:
Calculamos a parcela gravitacional:
Multiplicando por
:
Somando:
Portanto
Interpretação rápida: a perda de velocidade tornou a órbita deformada e faria o satélite cair; ao cair ele converte potencial gravitacional em energia cinética, atingindo
ao impacto.
Passo 5
Dicas para a prova (bem práticas, tipo macete):
- Para órbita circular use sempre
. Não esqueça de calcular . - Para colisões/quedas instantâneas, conserve energia mecânica entre instantes onde não há mais perdas externas.
- Trabalhe por unidade de massa (divida tudo por
) para simplificar: muitas vezes o cancela. - Verifique unidades (aqui todos os valores foram mantidos em
e , então a velocidade saiu em ).
Força extra de ânimo: você já fez o mais difícil — listar dados e transformar física em equações. Agora é só praticar mais uns exercícios parecidos que isso entra na cabeça!
Resposta
i)
ii)
ii)