1. Um satélite de massa m=497,7 \mathrm{~kg} descreve uma órbita circular a uma altura de 90 km sobre a superfície do planeta P de raio 160 km e massa M . i) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. ii) Se o satélite perde, subitamente, 12,5 \% da sua velocidade, com que velocidade atingirá a superfície do planeta?
    Considere o produto \mathrm{G} \bullet \mathrm{M}=4,0 \times 10^{5} \mathrm{~km}^{3} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (i) Determinar a velocidade do satélite numa órbita circular a 90\\ \mathrm{km} acima da superfície do planeta P.
  2. (ii) Se o satélite perde subitamente 12{,}5\% da sua velocidade orbital, determinar com que velocidade ele atingirá a superfície do planeta.
Informações fornecidas (vou listar todas, para a gente não se perder):
\,m=497{,}7\\ \mathrm{kg} (massa do satélite),
\,R=160\\ \mathrm{km} (raio do planeta P),
\,h=90\\ \mathrm{km} (altura da órbita acima da superfície),
\mathrm{G}\cdot\mathrm{M}=4,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}^{3}/\mathrm{s}^{2} (produto gravitacional do planeta).
A partir disso o raio da órbita é
r=R+h=160\\ \mathrm{km}+90\\ \mathrm{km}=250\\ \mathrm{km}.
Nada mais será assumido além do enunciado.

Passo 2

Vamos resolver (i): velocidade numa órbita circular. Conceito/derivação rápida e didática:
  • Um corpo em órbita circular está em movimento com velocidade \,v tal que a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária.
  • Força gravitacional (lei de Newton): \displaystyle F_{\text{grav}}=\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}\,m}{r^{2}}, onde \mathrm{M} é a massa do planeta e m a do satélite.
  • Força centrípeta (movimento circular): \displaystyle F_{\text{cent}}=\frac{m v^{2}}{r}.
    Igualando as duas (pois a gravidade é a força que mantém o satélite na órbita),
\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}\,m}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r}.
Explicação das variáveis: \mathrm{G} constante gravitacional, \mathrm{M} massa do planeta, m massa do satélite, r raio da órbita, v velocidade orbital. Note que m aparece dos dois lados e cancela, então a velocidade não depende da massa do satélite.
Simplificando:
v^{2}=\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}, \qquad\text{logo}\qquad v=\sqrt{\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}}.
Agora substituímos numericamente com \mathrm{G}\,\mathrm{M}=4,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}^{3}/\mathrm{s}^{2} e r=250\\ \mathrm{km}:
\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}=\frac{4,0\times10^{5}}{250}=1{,}600\\ \mathrm{km}^{2}/\mathrm{s}^{2}.
Portanto
v=\sqrt{1{,}600}=40\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}.
Pequeno comentário prático: a ordem de grandeza é alta porque o planeta é muito pequeno (pequeno r e grande \mathrm{G}\,\mathrm{M} relativo), então velocidades orbitais ficam grandes em km/s.

Passo 3

Agora (ii): o satélite perde subitamente 12{,}5\% da sua velocidade. Primeiro cálculo da velocidade imediatamente após a perda:
v_{1}=(1-0{,}125)\,v=0{,}875\,v.
Com v=40\\ \mathrm{km}/\mathrm{s},
v_{1}=0{,}875\times40=35\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}.
Explicando a física: a perda de velocidade é instantânea (um choque, por exemplo). A energia mecânica depois do choque é a que determina a trajetória subsequente. Supondo que não haja nenhuma outra dissipação além dessa quebra instantânea, a energia mecânica do satélite depois do choque é conservada durante a queda até o impacto (isto é, trocas entre energia cinética e potencial gravitacional acontecem, mas a soma energia mecânica total é constante).

Passo 4

Aplicamos conservação da energia mecânica entre o instante logo após a perda de velocidade (no raio r) e o instante do impacto na superfície (raio R). Energia mecânica total (por unidade de massa, para simplificar) é
\varepsilon=\frac{1}{2}v^{2}-\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}.
Para o estado inicial pós-choque (raio r) usamos v_{1}; para o estado final na superfície (raio R) usamos a velocidade de impacto u. Igualando energias por unidade de massa (o m também cancela):
\frac{1}{2}v_{1}^{2}-\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}=\frac{1}{2}u^{2}-\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{R}.
Isolando u^{2}:
\frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{2}v_{1}^{2}-\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{r}+\frac{\mathrm{G}\,\mathrm{M}}{R},
u^{2}=v_{1}^{2}+2\,\mathrm{G}\,\mathrm{M}\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right).
Agora substituímos numericamente. Já temos v_{1}=35\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}, então v_{1}^{2}=35^{2}=1{,}225\\ \mathrm{km}^{2}/\mathrm{s}^{2}.
Calculamos a parcela gravitacional:
\frac{1}{R}-\frac{1}{r}=\frac{1}{160}-\frac{1}{250}=0{,}00625-0{,}00400=0{,}00225\\ \mathrm{km}^{-1}.
Multiplicando por 2\,\mathrm{G}\,\mathrm{M}:
2\,\mathrm{G}\,\mathrm{M}=2\times4,0\times10^{5}=8,0\times10^{5}\\ \mathrm{km}^{3}/\mathrm{s}^{2}.
2\,\mathrm{G}\,\mathrm{M}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=8{,}0\times10^{5}\times0{,}00225=1{,}800\\ \mathrm{km}^{2}/\mathrm{s}^{2}.
Somando:
u^{2}=1{,}225+1{,}800=3{,}025\\ \mathrm{km}^{2}/\mathrm{s}^{2}.
Portanto
u=\sqrt{3{,}025}=55\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}.
Interpretação rápida: a perda de velocidade tornou a órbita deformada e faria o satélite cair; ao cair ele converte potencial gravitacional em energia cinética, atingindo 55\\ \mathrm{km}/\mathrm{s} ao impacto.

Passo 5

Dicas para a prova (bem práticas, tipo macete):
  • Para órbita circular use sempre v=\sqrt{\mathrm{G}\mathrm{M}/r}. Não esqueça de calcular r=R+h.
  • Para colisões/quedas instantâneas, conserve energia mecânica entre instantes onde não há mais perdas externas.
  • Trabalhe por unidade de massa (divida tudo por m) para simplificar: muitas vezes o m cancela.
  • Verifique unidades (aqui todos os valores foram mantidos em \mathrm{km} e \mathrm{s}, então a velocidade saiu em \mathrm{km}/\mathrm{s}).
Força extra de ânimo: você já fez o mais difícil — listar dados e transformar física em equações. Agora é só praticar mais uns exercícios parecidos que isso entra na cabeça!

Resposta

i) 40\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}
ii) 55\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}

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