Um circuito RLC série com L =20 \mathrm{mH}, \mathrm{C}=4 \mu \mathrm{~F} e R= 10 \Omega é alimentado por um gerador com tensão máxima de 200 V e uma frequência angular variável \omega. Se \omega=8000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine (a) \mathrm{X}_{\mathrm{C}} e \mathrm{X}_{\mathrm{L}}; (b) Z e \mathrm{I}_{\text {max }}; (c) o ângulo de fase \delta.

Passo 1

O enunciado fornece um circuito série RLC alimentado por um gerador com tensão máxima e pede algumas grandezas quando a frequência angular é \omega=8000\\ \mathrm{rad/s}.
Dados fornecidos:
L=20\\ \mathrm{mH}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
C=4\\ \mu\mathrm{F}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
R=10\\ \Omega,
V_{\max}=200\\ \mathrm{V},
\omega=8000\\ \mathrm{rad/s}.
O que o enunciado pede:
(a) calcular a reatância capacitiva \mathrm{X}_{C} e a reatância indutiva \mathrm{X}_{L};
(b) calcular a impedância Z do circuito e a corrente máxima \mathrm{I}_{\max};
(c) determinar o ângulo de fase \delta entre a tensão e a corrente (e interpretar o sinal desse ângulo).

Passo 2

Conceito e fórmula de reatância indutiva: a reatância de um indutor mede a oposição do indutor à corrente variável e é dada por
\mathrm{X}_{L}=\omega L,
onde \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s} e L é a indutância em henry ( \mathrm{H}). Cada símbolo:
  • \mathrm{X}_{L}: reatância indutiva em ohms ( \Omega),
  • \omega: frequência angular em \mathrm{rad/s},
  • L: indutância em henry.
Agora calculamos \mathrm{X}_{L}:
\mathrm{X}_{L}=\omega L=8000\times(20\times10^{-3})\\ \Omega.
Efetuando a multiplicação:
20\times10^{-3}=0,02,
\mathrm{X}_{L}=8000\times0,02=160\\ \Omega.

Passo 3

Conceito e fórmula de reatância capacitiva: a reatância de um capacitor é
\mathrm{X}_{C}=\frac{1}{\omega C},
onde C é a capacitância em farad ( \mathrm{F}). Cada símbolo:
  • \mathrm{X}_{C}: reatância capacitiva em ohms ( \Omega),
  • \omega: frequência angular em \mathrm{rad/s},
  • C: capacitância em farad.
Agora calculamos \mathrm{X}_{C}:
\omega C = 8000\times(4\times10^{-6})\\ =8000\times0,000004=0,032,
\mathrm{X}_{C}=\frac{1}{0,032}=31,25\\ \Omega.

Passo 4

Resumo numérico até aqui (para que fique claro):
\mathrm{X}_{L}=160\\ \Omega,\qquad \mathrm{X}_{C}=31,25\\ \Omega.
Interpretação rápida: como \mathrm{X}_{L}>\mathrm{X}_{C} o circuito está no regime indutivo para essa frequência (isso afetará o sinal do ângulo de fase que veremos depois).

Passo 5

Impedância do circuito série RLC: para um circuito série RLC a impedância complexa é
Z = R + j(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C}),
onde j é a unidade imaginária. A magnitude da impedância (que é a que usamos para relacionar tensões máximas e correntes máximas) é
|Z|=\sqrt{R^{2}+(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C})^{2}}.
Aqui:
  • R é a resistência em \Omega,
  • \mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C} é a reatância líquida (positiva se indutiva).

Passo 6

Cálculo passo a passo de Z. Primeiro a diferença das reatâncias:
\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C}=160-31,25=128,75\\ \Omega.
Agora quadrados:
R^{2}=10^{2}=100,
(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C})^{2}=128,75^{2}=16576,5625.
Somando:
R^{2}+(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C})^{2}=100+16576,5625=16676,5625.
Finalmente a magnitude da impedância:
|Z|=\sqrt{16676,5625}\approx129,14\\ \Omega.
Expliquei: calculei o quadrado da diferença, somei com R^{2} e tirei a raiz quadrada — este é o procedimento padrão para encontrar a magnitude da impedância em série.

Passo 7

Cálculo da corrente máxima \mathrm{I}_{\max}. Relação entre tensão máxima e corrente máxima em regime senoidal:
\mathrm{I}_{\max}=\frac{V_{\max}}{|Z|},
onde V_{\max} é a tensão máxima do gerador e |Z| é a magnitude da impedância.
Substituindo os números:
\mathrm{I}_{\max}=\frac{200}{129,14}\\ \mathrm{A}\approx1,55\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: pense assim — o gerador “vê” uma oposição total ao fluxo de corrente dada por |Z|; quanto maior |Z|, menor a corrente para a mesma tensão.

Passo 8

Cálculo do ângulo de fase \delta. O ângulo de fase (também chamado ângulo da impedância) é o argumento da quantidade complexa R + j(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C}). A fórmula é
\delta=\arctan\!\left(\frac{\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C}}{R}\right).
Significado: \delta>0 indica que a tensão (sobre o conjunto) está adiantada em relação à corrente, i.e., a corrente está defasada para trás (current lags) — típico de regime indutivo. Se \delta<0 seria regime capacitivo (corrente adiantada).
Substituindo valores:
\delta=\arctan\!\left(\frac{128,75}{10}\right)=\arctan(12,875).

Passo 9

Avaliação numérica do arco-tangente. Usando uma calculadora mental aproximada (ou tabela): para argumentos grandes \arctan(x) aproxima-se de \tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{x} em radianos, mas aqui vamos dar o valor numérico mais direto:
\delta\approx85,55^\circ.
Em radianos (apenas para referência e se precisar):
\delta\approx1,493\\ \mathrm{rad}.
Interpretação: como \delta é positivo e muito próximo de 90^\circ, o circuito é fortemente indutivo nessa frequência — a reatância indutiva domina.

Passo 10

Resumo final dos cálculos e reforço didático rápido:
  • Usei \mathrm{X}_{L}=\omega L e \mathrm{X}_{C}=1/(\omega C).
  • A impedância em série tem magnitude |Z|=\sqrt{R^{2}+(\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C})^{2}}.
  • A corrente máxima vem de \mathrm{I}_{\max}=V_{\max}/|Z|.
  • O ângulo de fase é \delta=\arctan\big((\mathrm{X}_{L}-\mathrm{X}_{C})/R\big) e seu sinal indica se o circuito é indutivo ( \delta>0) ou capacitivo ( \delta<0).
    Você consegue aplicar este passo a passo em qualquer circuito série RLC na prova — só substituir os valores e seguir as contas devagar, como fizemos.

Resposta

(a) \mathrm{X}_{C}=31,25\\ \Omega,\quad \mathrm{X}_{L}=160\\ \Omega
(b) Z\approx129,14\\ \Omega,\quad \mathrm{I}_{\max}\approx1,55\\ \mathrm{A}
(c) \delta\approx85,55^\circ (corrente defasada, ou seja, o circuito está no regime indutivo)

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