Dois corpos são largados com um intervalo de tempo de 1,4 \mathrm{~s}, de uma mesma altura. Quanto tempo depois do primeiro começar a cair estarão os dois corpos separados por 15 m ?

Passo 1

O enunciado diz: dois corpos são largados (soltos, sem velocidade inicial) da mesma altura, o segundo é largado 1{,}4\\ \mathrm{s} depois do primeiro. Pergunta: quanto tempo depois do primeiro começar a cair os dois corpos estarão separados por 15\\ \mathrm{m} ?\n
Informações dadas:
\Delta t = 1{,}4\\ \mathrm{s},\qquad \text{separação desejada }=15\\ \mathrm{m}.çã
Vou assumir a aceleração da gravidade padrão \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\; (se no seu exame usarem g=10\\ \mathrm{m/s^2}, o procedimento é o mesmo, só mudam os números).

Passo 2

Conceito físico básico (explicadinho): um corpo em queda livre, largado sem velocidade inicial, tem a posição (distância caída) dada por
s(t)=\tfrac{1}{2}g t^{2},
onde \;s(t)\; é a distância caída em metros e \;t\; é o tempo desde que aquele corpo foi largado (em segundos). Aqui a velocidade inicial é zero, por isso usamos só o termo \tfrac{1}{2}gt^2.

Passo 3

Definimos variáveis para cada corpo, medindo o tempo t a partir do momento em que o primeiro é largado.
Para t\ge \Delta t (ou seja, depois que o segundo também foi largado) as distâncias caídas são:
s_{1}(t)=\tfrac{1}{2}g t^{2}, \qquad s_{2}(t)=\tfrac{1}{2}g(t-\Delta t)^{2},
onde \Delta t=1{,}4\\ \mathrm{s}. (Se t<\Delta t, o segundo ainda não foi largado e s_2=0; mais abaixo vamos checar que a solução ocorre com t>\Delta t.)

Passo 4

A separação vertical entre os corpos é
\Delta s(t)=s_{1}(t)-s_{2}(t)=\tfrac{1}{2}g\bigl[t^{2}-(t-\Delta t)^{2}\bigr].
Vamos simplificar a diferença de quadrados:
t^{2}-(t-\Delta t)^{2}=t^{2}-\bigl(t^{2}-2t\Delta t+(\Delta t)^{2}\bigr)=2t\Delta t-(\Delta t)^{2}.
Portanto
\Delta s(t)=\tfrac{1}{2}g\bigl(2t\Delta t-(\Delta t)^{2}\bigr)=g\Delta t\;t-\tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}.
Queremos \Delta s(t)=15. Assim obtemos uma equação linear em t:
g\Delta t\;t-\tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}=15.
Isolando t:
t=\dfrac{15+\tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}}{g\Delta t}.

Passo 5

Agora substituímos os números: \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\; e \;\Delta t=1{,}4\\ \mathrm{s}.
Calcule passo a passo:
(\Delta t)^{2}=1{,}4^{2}=1{,}96,
\tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}=0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 1{,}96=4{,}9\cdot 1{,}96=9{,}604,
g\Delta t=9{,}8\cdot 1{,}4=13{,}72.
Logo
t=\dfrac{15+9{,}604}{13{,}72}=\dfrac{24{,}604}{13{,}72}\approx 1{,}7938\\ \mathrm{s}.
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais):
t\approx 1{,}79\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Cheque rápido (para ter confiança): com t\approx 1{,}7938\\ \mathrm{s},
s_{1}=\tfrac{1}{2}g t^{2}\approx 4{,}9\cdot (1{,}7938)^{2}\approx 15{,}77\\ \mathrm{m},
s_{2}=\tfrac{1}{2}g(t-\Delta t)^{2}\approx 4{,}9\cdot (0{,}3938)^{2}\approx 0{,}77\\ \mathrm{m},
diferença \approx 15{,}00\\ \mathrm{m} (pequenas diferenças são só por arredondamento). Portanto a resposta está consistente.

Resposta

1{,}79\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados