Você resolve realizar um experimento simples para verificar a teoria de fluidos. Primeiro, faz um pequeno furo circular ( 1,5 \mathrm{~cm}^{2} ) na base de um balde (aproximadamente um recipiente cilíndrico com raio de X c m e altura de Y c m ). Depois, usa uma mangueira para deixar água fluir para dentro do balde. Você havia verificado anteriormente que, com a mesma vazão constante, conseguiu encher uma garrafa de 3 L em 12,5 segundos. Até que altura a água subirá no balde? Dê sua resposta em cm com 1 casas decimais após a vírgula.
Se o último número do seu RA estiver entre 0 e 4:
X=5 e Y=25
Se o último número do seu RA estiver entre 5 e 9: X=7 e Y=30

Passo 1

O enunciado pergunta: “Até que altura a água subirá no balde?” e pede a resposta em centímetros com uma casa decimal. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • área do furo na base: 1{,}5\\ \mathrm{cm}^2 (peguei esse dado do enunciado);
  • o balde é aproximadamente cilíndrico com raio X\\ \mathrm{cm} e altura Y\\ \mathrm{cm}, sendo que o enunciado dá duas possibilidades para (X,Y) dependendo do último dígito do RA: ou X=5,\;Y=25 ou X=7,\;Y=30;
  • a vazão da mangueira foi previamente medida por um experimento: ela enche uma garrafa de 3\\ \mathrm{L} em 12{,}5\\ \mathrm{s} (isso diz que a vazão é constante e igual à da mangueira);
  • objetivo: encontrar a altura de equilíbrio h (em cm) a que a água sobe no balde quando a vazão de entrada e a vazão de saída pelo furo se igualam.

Passo 2

Calcular a vazão de entrada Q_{\text{in}} a partir do enchimento da garrafa. Converter volumes para \mathrm{cm}^3:
3\\ \mathrm{L} = 3000\\ \mathrm{cm}^3.
A vazão média é o volume dividido pelo tempo, logo
Q_{\text{in}}=\frac{3000\\ \mathrm{cm}^3}{12{,}5\\ \mathrm{s}}=240\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
Explicando: Q (vazão volumétrica) mede quantos centímetros cúbicos de água entram por segundo.

Passo 3

Modelagem da vazão de saída pelo furo. Quando o nível atinge altura h acima do furo, a velocidade de saída da água pelo orifício pode ser aproximada pela fórmula de Torricelli:
v=\sqrt{2 g h},
onde:
  • v é a velocidade do jato na saída (em \mathrm{cm}/\mathrm{s});
  • g é a aceleração da gravidade; aqui usaremos g=981\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2;
  • h é a altura do nível livre de água acima do furo (em \mathrm{cm}).
    Breve justificativa física (intuição): a água perde energia potencial g h por unidade de massa ao descer e essa energia transforma-se em energia cinética \tfrac{1}{2}v^2, daí v^2/2 \approx g h, resultando em v\approx\sqrt{2 g h}.

Passo 4

Transformar essa velocidade em vazão volumétrica de saída Q_{\text{out}}. A vazão é a velocidade multiplicada pela área do furo:
Q_{\text{out}} = A\cdot v,
onde A=1{,}5\\ \mathrm{cm}^2. Substituindo v:
Q_{\text{out}} = 1{,}5\\ \sqrt{2 g h}.
Colocando g=981\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2 temos 2g=1962, então
Q_{\text{out}} = 1{,}5\\ \sqrt{1962\,h}\quad(\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}).

Passo 5

Estado estacionário (equilíbrio): a altura h se estabelece quando a vazão que entra é igual à vazão que sai:
Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}.
Substituindo os valores que já temos:
240 = 1{,}5\\ \sqrt{1962\,h}.
Resolver essa equação para h. Primeiro divido por 1{,}5:
\sqrt{1962\,h} = \frac{240}{1{,}5} = 160.
Agora elevo ao quadrado ambos os lados:
1962\,h = 160^2 = 25600.
Logo
h = \frac{25600}{1962}.
Fazendo a conta manual (passo a passo sem calculadora): 1962\times 13 = 25506, resto 25600-25506=94. Então
h = 13 + \frac{94}{1962} = 13 + \frac{47}{981}\approx 13{,}04794\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Arredondar para uma casa decimal conforme pedido: h\approx 13{,}0\\ \mathrm{cm}.
Verificações rápidas: o resultado não depende do raio X do balde (isso é intuitivo — o nível para o qual o escoamento iguala a entrada depende apenas da vazão e do orifício), e para as duas alturas possíveis do enunciado Y=25 ou Y=30 temos Y>13{,}0\\ \mathrm{cm}, portanto não há transbordamento; tudo consistente.

Resposta

13{,}0\\ \mathrm{cm}

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