Você resolve realizar um experimento simples para verificar a teoria de fluidos. Primeiro, faz um pequeno furo circular (
) na base de um balde (aproximadamente um recipiente cilíndrico com raio de
e altura de
). Depois, usa uma mangueira para deixar água fluir para dentro do balde. Você havia verificado anteriormente que, com a mesma vazão constante, conseguiu encher uma garrafa de 3 L em 12,5 segundos. Até que altura a água subirá no balde? Dê sua resposta em cm com 1 casas decimais após a vírgula.
Se o último número do seu RA estiver entre 0 e 4:
e
Se o último número do seu RA estiver entre 5 e 9:
e
Se o último número do seu RA estiver entre 5 e 9:
Passo 1
O enunciado pergunta: “Até que altura a água subirá no balde?” e pede a resposta em centímetros com uma casa decimal. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- área do furo na base:
(peguei esse dado do enunciado); - o balde é aproximadamente cilíndrico com raio
e altura , sendo que o enunciado dá duas possibilidades para dependendo do último dígito do RA: ou ou ; - a vazão da mangueira foi previamente medida por um experimento: ela enche uma garrafa de
em (isso diz que a vazão é constante e igual à da mangueira); - objetivo: encontrar a altura de equilíbrio
(em cm) a que a água sobe no balde quando a vazão de entrada e a vazão de saída pelo furo se igualam.
Passo 2
Calcular a vazão de entrada
a partir do enchimento da garrafa. Converter volumes para
:
A vazão média é o volume dividido pelo tempo, logo
Explicando:
(vazão volumétrica) mede quantos centímetros cúbicos de água entram por segundo.
Passo 3
Modelagem da vazão de saída pelo furo. Quando o nível atinge altura
acima do furo, a velocidade de saída da água pelo orifício pode ser aproximada pela fórmula de Torricelli:
onde:
-
é a velocidade do jato na saída (em ); -
é a aceleração da gravidade; aqui usaremos ; -
é a altura do nível livre de água acima do furo (em ).
Breve justificativa física (intuição): a água perde energia potencialpor unidade de massa ao descer e essa energia transforma-se em energia cinética , daí , resultando em .
Passo 4
Transformar essa velocidade em vazão volumétrica de saída
. A vazão é a velocidade multiplicada pela área do furo:
onde
. Substituindo
:
Colocando
temos
, então
Passo 5
Estado estacionário (equilíbrio): a altura
se estabelece quando a vazão que entra é igual à vazão que sai:
Substituindo os valores que já temos:
Resolver essa equação para
. Primeiro divido por
:
Agora elevo ao quadrado ambos os lados:
Logo
Fazendo a conta manual (passo a passo sem calculadora):
, resto
. Então
Passo 6
Arredondar para uma casa decimal conforme pedido:
.
Verificações rápidas: o resultado não depende do raio do balde (isso é intuitivo — o nível para o qual o escoamento iguala a entrada depende apenas da vazão e do orifício), e para as duas alturas possíveis do enunciado
ou
temos
, portanto não há transbordamento; tudo consistente.
Verificações rápidas: o resultado não depende do raio