P 2 - Num circuito RLC série, alimentado por uma fonte com \xi_{\mathrm{rms}}=120 \mathrm{~V} e f_{\mathrm{d}}= 60 Hz , contém uma resistência \mathrm{R}=200 \Omega, uma reatância indutiva com X_{\mathrm{L}}= 80,0 \Omega e uma reatância capacitiva de X_{\mathrm{C}}=150 \Omega. (a)Determine o fator de potência cos \varphi e a constante de fase \varphi do circuito. (b) Qual é a taxa média P_{\text {méd }}é com a qual a energia é dissipada na resistência?
(b) \quad P_{\text {méd }}=I_{r m s}^{2} R \quadé ou \quad P_{\text {méd }}=\varepsilon_{r m s} I_{r m s} \cos \varphié
\begin{aligned} & I_{r m s}=\frac{\varepsilon_{r m s}}{Z}=0,56 \mathrm{~A} \\\ & P_{m e ́ d}=64,1 \mathrm{~W} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o fator de potência \cos\varphi e a constante de fase \varphi do circuito RLC série.
  2. (b) Calcular a potência média P_{\text{méd}}é dissipada na resistência.
Informações dadas:
\varepsilon_{\mathrm{rms}}=120\\ \mathrm{V} (tensão eficaz da fonte) \n
f_{\mathrm{d}}=60\\ \mathrm{Hz} (frequência — não será necessária diretamente aqui) \n
R=200\\ \Omega \n
X_{L}=80,0\\ \Omega \n
X_{C}=150\\ \Omega

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Num circuito série RLC, a impedância complexa é dada por
Z = R + j\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr),
onde j é a unidade imaginária. Aqui R é a parte real (resistiva) e X_{L}-X_{C} é a parte imaginária (reativa líquida).
  • A magnitude da impedância é
|Z| = \sqrt{R^{2} + \bigl(X_{L}-X_{C}\bigr)^{2}}.
Isto vem da interpretação geométrica do número complexo R + j(X_L-X_C), cuja magnitude é a distância ao ponto (R,X_L-X_C) no plano complexo.
  • A corrente eficaz pelo circuito é dada por
I_{\mathrm{rms}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{rms}}}{|Z|}.
  • O ângulo de fase entre tensão e corrente (a constante de fase) é
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right).
Se \varphi<0 significa que a corrente está adiantada (circuito capacitivo); se \varphi>0 a corrente atrasa (circuito indutivo).
  • O fator de potência é
\cos\varphi,
que é a fração da potência aparente que é convertida em potência real.
  • A potência média dissipada na resistência pode ser calculada por qualquer uma das fórmulas equivalentes:
P_{\text{méd}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R \quad\text{ou}\quad P_{\text{méd}}=\varepsilon_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi.éé
Ambas dão o mesmo resultado porque \varepsilon_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = ( \varepsilon_{\mathrm{rms}}/|Z| )^{2}R.

Passo 3

Calcular a reatância líquida (a parte imaginária de Z):
X_{L}-X_{C}=80,0-150 = -70\\ \Omega.
Comentário: o sinal negativo indica reatância capacitiva líquida (o circuito é capacitivo, logo a corrente tende a adiantar).

Passo 4

Calcular a magnitude da impedância |Z|:
|Z|=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}=\sqrt{200^{2}+(-70)^{2}}.
Calculemos os quadrados:
200^{2}=40000,\qquad (-70)^{2}=4900.
Somando:
40000+4900=44900.
Logo
|Z|=\sqrt{44900}\approx 212,009\\ \Omega.
Arredondando razoavelmente:
|Z|\approx 212,01\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente eficaz I_{\mathrm{rms}}:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{rms}}}{|Z|}=\frac{120}{212,009\ldots}\\ \mathrm{A}.
Fazendo a divisão:
I_{\mathrm{rms}}\approx 0,566037\\ \mathrm{A}.
Arredondando para duas casas decimais (como no enunciado possível):
I_{\mathrm{rms}\,}\approx 0,566\\ \mathrm{A}\quad(\text{o enunciado forneceu }0,56\\ \mathrm{A},\\ \text{compatível}).í

Passo 6

Calcular o ângulo de fase \varphi:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right)=\arctan\!\left(\frac{-70}{200}\right)=\arctan(-0,35).
Usando a função arco-tangente (em graus):
\varphi\approx -19,293^\circ.
Arredondando:
\varphi\approx -19,29^\circ.
Interpretação: \varphi<0 confirma que a corrente está adiantada (circuito de comportamento capacitivo).

Passo 7

Calcular o fator de potência \cos\varphi:
\cos\varphi=\cos\bigl(-19,293^\circ\bigr)=\cos\bigl(19,293^\circ\bigr).
Calculando:
\cos\varphi\approx 0,9430.
Arredondando:
\cos\varphi\approx 0,943.
Este é o fator de potência (positivo). Como \varphi é negativo, costuma-se dizer fator de potência 0,943 (leading) — corrente adiantada.

Passo 8

Calcular a potência média dissipada na resistência. Usarei as duas fórmulas para mostrar que coincidem.
Método 1: P_{\text{méd}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}Ré.
I_{\mathrm{rms}}^{2}\approx(0,566037)^{2}\approx 0,320434,
P_{\text{méd}}=0,320434\times 200\approx 64,0868\\ \mathrm{W}.é
Método 2 (verificação): P_{\text{méd}}=\varepsilon_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphié.
P_{\text{méd}}=120\times 0,566037\times 0,9430\approx 64,0868\\ \mathrm{W}.é
Arredondando:
P_{\text{méd}}\approx 64,1\\ \mathrm{W},é
que coincide com o valor do enunciado 64,1\\ \mathrm{W}.

Resposta

\cos\varphi \approx 0,943,\quad \varphi \approx -19,29^\circ (corrente adiantada) \n
P_{\text{méd}} \approx 64,1\\ \mathrm{W}é

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