Questão 02: Em uma esfera condutora oca, eletricamente neutra, de raio interno \mathbf{R}_{1} e externo \mathbf{R}_{2} é colocada uma carga puntiforme +\boldsymbol{Q} localizada em seu centro. Posteriormente, uma carga elétrica negativa -3 Q é transferida para a esfera oca localizando-se no material condutor. Determine:
a)O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana de raio r , tal que \mathbf{R}_{\mathbf{1}}<\mathbf{r}<\mathbf{R}_{\mathbf{2}};
b)O campo elétrico para uma distância r da carga +\boldsymbol{Q}, \operatorname{com} \mathbf{r} \gg \mathbf{R}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora oca eletricamente neutra com raio interno \mathbf{R}_{1} e externo \mathbf{R}_{2}. Uma carga puntiforme +Q é colocada no centro da cavidade. Depois, uma carga -3Q é transferida para o material condutor (isto é, para a parte metálica entre R_{1} e R_{2}). Pergunta-se:
a) O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio r com \mathbf{R}_{1}<\mathbf{r}<\mathbf{R}_{2}.
b) O campo elétrico para uma distância r da carga +Q, no caso \mathbf{r}\gg \mathbf{R}_{2}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Carga no centro: }+Q,\\\ &\text{Carga transferida para o condutor: }-3Q,\\\ &\text{Esfera condutora originalmente neutra (soma zero antes da transferência).}\\\ &\text{Geometria: cavidade esférica interna de raio }R_{1}\text{ e raio externo }R_{2}. \end{aligned}êé

Passo 2

Principais propriedades elétricas de um condutor em equilíbrio eletrostático (vou explicar devagar, que é o que interessa na prova):
  • Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico \mathbf{E} dentro do material condutor é zero em todo ponto do metal. Isso quer dizer que, para qualquer ponto com R_{1}<r<R_{2}, temos \mathbf{E}=0.
  • Cargas livres no condutor movem-se até se alojarem nas superfícies do condutor (superfície interna da cavidade ou superfície externa), porque no interior do metal o campo precisa ser zero.
  • Se você coloca uma carga +Q dentro da cavidade (no centro), ela induz uma carga na superfície interna da cavidade de valor -Q (a distribuição é tal que zera o campo dentro do metal). Para manter a conservação de carga do condutor inicialmente neutro, aparece uma carga +Q na superfície externa.
    Vou motivar a indução com Gauss: fechando uma superfície gaussiana que circunda apenas a cavidade (ou seja, dentro do metal), a soma das cargas dentro dessa superfície tem que produzir o fluxo correspondente; como o campo no metal é zero, a carga total envolvida por essa superfície deve ser zero, o que obriga a superfície interna a ter carga -Q.

Passo 3

Agora inclua o efeito de transferir -3Q para o material condutor. Pense assim, passo a passo:
  • Antes da transferência, depois de colocar +Q na cavidade, o condutor tinha cargas: -Q na superfície interna e +Q na superfície externa (de modo que a soma no condutor era zero).
  • Ao adicionar -3Q ao condutor, essa carga livre adicional não pode ir para dentro do metal (o interior do metal continua sem campo) e, portanto, ela se distribui na superfície externa. A carga na superfície interna não muda, pois ela é determinada pela necessidade de anular o campo do +Q dentro do metal.
  • Logo, cargas finais ficam:
\begin{aligned} &\text{superfície interna: }-Q,\\\ &\text{superfície externa: }(+Q)+(-3Q)=-2Q. \end{aligned}íí
Verificação da conservação: carga total do condutor agora é -Q-2Q=-3Q, que é exatamente a carga adicionada.

Passo 4

Resolvendo (a): flux através da superfície gaussiana com \mathbf{R_{1}}<\mathbf{r}<\mathbf{R_{2}}.
Lembrete do teorema de Gauss (fórmula e o que significa):
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \Phi é o fluxo elétrico através da superfície fechada S e Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro dessa superfície.
Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com R_{1}<r<R_{2}. O que ela envolve?
  • Envolve a carga puntiforme +Q no centro.
  • Envolve também a carga na superfície interna da cavidade, que está localizada exatamente em r=R_{1} (como r>R_{1}, essa carga está dentro da superfície gaussiana). Essa carga é -Q, conforme justificamos no passo anterior.
    Somando as cargas dentro da gaussiana:
Q_{\text{int}}=+Q + (-Q)=0.

Passo 5

Como Q_{\text{int}}=0, pela lei de Gauss o fluxo é
\Phi=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{0}{\varepsilon_{0}}=0.
Além disso, isso é consistente com a propriedade do condutor de que \mathbf{E}=0 no próprio material condutor (entre R_{1} e R_{2}), e se \mathbf{E}=0 em cada ponto da superfície gaussiana então o fluxo também é zero. Então a resposta de (a) é zero, e mostrei duas formas de ver: por soma das cargas internas e por E=0.

Passo 6

Resolvendo (b): campo elétrico para uma distância r tal que \mathbf{r}\gg \mathbf{R_{2}} (ou seja, fora do condutor).
Quando estamos bem fora da esfera, a configuração é esfericamente simétrica (a distribuição na superfície externa é esférica porque o condutor é esférico e a carga no centro conserva a simetria). Assim podemos usar Gauss com uma superfície esférica de raio r grande: o campo terá direção radial e mesmo valor em toda a superfície. Pela lei de Gauss:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{total}} é a carga total contida dentro da esfera de raio r.

Passo 7

Calcule Q_{\text{total}} (todas as cargas no interior, isto é, carga no centro mais cargas nas superfícies internas e externas):
Q_{\text{total}}=+Q \;(\text{no centro})\; +(-Q)\;(\text{superf. interna})\; +(-2Q)\;(\text{superf. externa}) = -2Q.
Logo, substituindo em Gauss,
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{-2Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r) obtemos o campo elétrico radial (módulo com sinal de direção incluído):
E(r)=\frac{-2Q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}}.

Passo 8

Interpretação física e escrita final: o sinal negativo indica que o campo aponta radialmente para dentro (isto é, na direção de -\hat{r}), ou seja, as linhas de campo apontam para o centro — comportamento de uma carga total efetiva -2Q localizada no centro (isto é o que um observador externo vê). Em módulo:
|E(r)|=\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}},
e o vetor campo é
\mathbf{E}(r)= -\,\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}}\,\hat{r}.

Resposta

a) \displaystyle \Phi=0.\n
b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=-\,\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_{0}\, r^{2}}\,\hat{r} (para \;r\gg R_{2}).

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