Questão 02: Em uma esfera condutora oca, eletricamente neutra, de raio interno
e externo
é colocada uma carga puntiforme
localizada em seu centro. Posteriormente, uma carga elétrica negativa
é transferida para a esfera oca localizando-se no material condutor. Determine:
a)O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana de raio r , tal que
;
b)O campo elétrico para uma distância r da carga
.
a)O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana de raio r , tal que
b)O campo elétrico para uma distância r da carga
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora oca eletricamente neutra com raio interno
e externo
. Uma carga puntiforme
é colocada no centro da cavidade. Depois, uma carga
é transferida para o material condutor (isto é, para a parte metálica entre
e
). Pergunta-se:
a) O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio com
.
b) O campo elétrico para uma distância da carga
, no caso
.
a) O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio
b) O campo elétrico para uma distância
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Principais propriedades elétricas de um condutor em equilíbrio eletrostático (vou explicar devagar, que é o que interessa na prova):
- Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico
dentro do material condutor é zero em todo ponto do metal. Isso quer dizer que, para qualquer ponto com , temos . - Cargas livres no condutor movem-se até se alojarem nas superfícies do condutor (superfície interna da cavidade ou superfície externa), porque no interior do metal o campo precisa ser zero.
- Se você coloca uma carga
dentro da cavidade (no centro), ela induz uma carga na superfície interna da cavidade de valor (a distribuição é tal que zera o campo dentro do metal). Para manter a conservação de carga do condutor inicialmente neutro, aparece uma carga na superfície externa.
Vou motivar a indução com Gauss: fechando uma superfície gaussiana que circunda apenas a cavidade (ou seja, dentro do metal), a soma das cargas dentro dessa superfície tem que produzir o fluxo correspondente; como o campo no metal é zero, a carga total envolvida por essa superfície deve ser zero, o que obriga a superfície interna a ter carga.
Passo 3
Agora inclua o efeito de transferir
para o material condutor. Pense assim, passo a passo:
- Antes da transferência, depois de colocar
na cavidade, o condutor tinha cargas: na superfície interna e na superfície externa (de modo que a soma no condutor era zero). - Ao adicionar
ao condutor, essa carga livre adicional não pode ir para dentro do metal (o interior do metal continua sem campo) e, portanto, ela se distribui na superfície externa. A carga na superfície interna não muda, pois ela é determinada pela necessidade de anular o campo do dentro do metal. - Logo, cargas finais ficam:
Verificação da conservação: carga total do condutor agora é
, que é exatamente a carga adicionada.
Passo 4
Resolvendo (a): flux através da superfície gaussiana com
.
Lembrete do teorema de Gauss (fórmula e o que significa):
onde
é o fluxo elétrico através da superfície fechada
e
é a carga total contida dentro dessa superfície.
Considere uma superfície gaussiana esférica de raio
com
. O que ela envolve?
- Envolve a carga puntiforme
no centro. - Envolve também a carga na superfície interna da cavidade, que está localizada exatamente em
(como , essa carga está dentro da superfície gaussiana). Essa carga é , conforme justificamos no passo anterior.
Somando as cargas dentro da gaussiana:
Passo 5
Como
, pela lei de Gauss o fluxo é
Além disso, isso é consistente com a propriedade do condutor de que
no próprio material condutor (entre
e
), e se
em cada ponto da superfície gaussiana então o fluxo também é zero. Então a resposta de (a) é zero, e mostrei duas formas de ver: por soma das cargas internas e por
.
Passo 6
Resolvendo (b): campo elétrico para uma distância
tal que
(ou seja, fora do condutor).
Quando estamos bem fora da esfera, a configuração é esfericamente simétrica (a distribuição na superfície externa é esférica porque o condutor é esférico e a carga no centro conserva a simetria). Assim podemos usar Gauss com uma superfície esférica de raio
grande: o campo terá direção radial e mesmo valor em toda a superfície. Pela lei de Gauss:
onde
é a carga total contida dentro da esfera de raio
.
Passo 7
Calcule
(todas as cargas no interior, isto é, carga no centro mais cargas nas superfícies internas e externas):
Logo, substituindo em Gauss,
Isolando
obtemos o campo elétrico radial (módulo com sinal de direção incluído):
Passo 8
Interpretação física e escrita final: o sinal negativo indica que o campo aponta radialmente para dentro (isto é, na direção de
), ou seja, as linhas de campo apontam para o centro — comportamento de uma carga total efetiva
localizada no centro (isto é o que um observador externo vê). Em módulo:
e o vetor campo é
Resposta
a)
\n
b) (para
).
b)