Um circuito RLC em série é conectado a uma fonte ca que fornece tensão de amplitude V0 constante e frequência angular variável omega. A capacitância é C e a indutância é L.
Mostre que a amplitude da corrente ( I0 ) em função do ângulo de fase (varphi) do circuito é dada por: I0=V0 cos phiR.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um circuito RLC em série alimentado por uma fonte CA de amplitude e frequência angular . Tem uma resistência , uma indutância e uma capacitância .
Conteúdo necessário:
  • Conceito de fasor (tensão e corrente como números complexos)
  • Impedância de cada elemento ( )
  • Cálculo da impedância total em série
  • Relação entre módulo da corrente, módulo da tensão e o ângulo de fase
  • Identidade
A partir do próximo passo a gente parte para a resolução de fato, sem pular nenhum detalhezinho.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir tudo para fasores. Em regime estacionário, a tensão na fonte vira um fasor ZR = R, ZL = j,omega L, ZC = 1j,omega C de módulo e a corrente vira um fasor de módulo . A ideia é usar impedâncias complexas para cada componente:
Aqui é a unidade imaginária ( ).

Passo 3

Como estão em série, a impedância total é a soma:
Z = ZR + ZL + ZC = R + j,omega L + 1j,omega C = R + jl(omega L - tfrac1omega Cr)
Definimos Z = R + j,(XL-XC) e , então

Passo 4

A lei de Ohm em fasores diz I0 = l|tilde Ir| = l|tilde Vr||Z| = V0raizR^2 + (XL-XC)^2 . Tomando módulos:

Passo 5

O ângulo de fase tanphi = Im(Z)Re(Z) = XL-XCR (diferença de fase entre tensão e corrente) satisfaz
Isso significa que a parte real de é e a parte imaginária é .

Passo 6

Num triângulo retângulo, se o cateto adjacente ao ângulo cosphi = R|Z| vale I0 = V0|Z| = V0R cdot R|Z| = V0R,cosphi, e a hipotenusa vale , então
Reescrevendo como
a gente chega exatamente na expressão pedida.

Resposta

boxedI0 = V0,cosphiR

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