Considere o Potencial degrau:
a) Sendo E=V0 / 2 a energia de cada partícula num feixe incidindo inicialmente de x<0 e que se move em direção a x>0, calcule o coeficiente de reflexão R. Nesse caso qual é o comportamento da função de onda de uma partícula na região onde x>0 ? É possível observar partículas nesta região em algum momento?
b) Para E=2 V0, calcule o coeficiente de reflexão R e o coeficiente de transmissão T. Mostre que R+T=1.
c) No caso do item b) e considerando que o feixe contém aproximadamente um milhão de partículas, qual seria o número estimado de partículas refletidas?

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre o “potencial degrau” na mecânica quântica. A gente tem um feixe de partículas que chega de em direção a , e há um degrau de potencial de altura em .
Conteúdo: solução da equação de Schrödinger para regiões com potencial constante, cálculo dos coeficientes de reflexão e transmissão via condições de contorno (continuidade da função de onda e da sua derivada) e conservação de corrente.
O que precisamos:
  • Escrever as funções de onda em cada região.
  • Ligar amplitudes em .
  • Calcular e .
  • No caso , tratar como imaginário e ver que não há corrente transmitida.

Passo 2

Caso (a): R = l|B/Ar|^2 = 1 .
  1. Região I ( ), potencial zero:

    com .
  2. Região II ( ), , energia menor que o potencial → , onde
    .
    A solução que não explode é
  3. Condições de contorno em : e .
    Resolvendo, encontra-se e mas não há corrente transmissã o (pois onda decai).
  4. Logo, coeficiente de reflexão Na região , a função de onda é evanescente ( ), ou seja, ela “bate” no degrau mas decai rapidamente. Não há fluxo de partículas transmitido, então não vemos partículas seguindo para .

Passo 3

Caso (b): A + B = C, k1 (A - B) = k2,C .
  1. Região I ( BA = k1 - k2k1 + k2, CA = 2,k1k1 + k2 ):
    R = l(k1 - k2k1 + k2r)^2, T = 4,k1,k2(k1 + k2)^2
  2. Região II ( R + T = 1, ):
  3. Condições de contorno em :

    Daí se obtém
  4. Definições:

    Substituindo:
  5. Dá para verificar diretamente que o que é coerente com a conservação de probabilidade (corrente).

Passo 4

Item ©: no caso do item (b) a gente tem Nrm ref<=tidas = R times 10^6 do jeito acima. Se o feixe tiver k2k1=raizE-V0E=raizV02V0=tfrac1raiz2, partículas, o número refletido é
R = l(1 - 1/raiz21 + 1/raiz2r)^2 = l(raiz2 - 1raiz2 + 1r)^2 approx 0,03
Se quiser um valor aproximado, note que para Nrm ref<=tidasapprox 0,03times 10^6 = 3times10^4
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Então

Resposta

a) R = l(tfrack1 - k2k1 + k2r)^2, T = tfrac4,k1,k2(k1 + k2)^2, R+T=1 . Na região a função de onda é evanescente ( ), não há partículas transmitidas.
b)
c) .

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