Um circuito RLC em série consome uma potência P_{\text {med }} quando alimentado por uma tensão V_{R M S} num circuito CA , em que a frequência é \omega, a capacitância é C e a indutância é L. Considerando que a corrente está atrasada em relação à voltagem e que o fator de potência é F_{P}, calcule:
a) a resistência líquida R do circuito.
b) a reatância capacitiva de um capacitor, a ser adicionado em série, para que seja alcançada condição de ressonância no circuito.
Suas respostas devem estar em função de F_{P}, P_{\text {med }}, V_{\text {RMS }} e \omega.
\begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9,0 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} \quad \int \frac{d x}{x}=\ln |x| \\\ & \epsilon_{0}=8,854 \times 10^{-12} C^{2} / N \cdot m^{2} \quad e=1,6 \times 10^{-19} C \\\ & \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right) \quad \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \\\ & \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) \quad \int \frac{d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{a^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\\ & \int \frac{x d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \quad \int \frac{d x}{a+b x}=\frac{\ln (a+b x)}{b} \\\ & \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} T \cdot m / A \end{aligned}

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC em série alimentado por uma tensão senoidal de valor eficaz V_{\text{RMS}}, frequência \omega, indutância L e capacitância C. Sabe-se que a potência média absorvida é P_{\text{med}} e que a corrente está atrasada em relação à tensão, com fator de potência F_{P}=\cos\varphi. Para resolver, vamos usar as relações de circuito CA:
P_{\text{med}} = V_{\text{RMS}}\,I_{\text{RMS}}\,F_{P},
Z = \frac{V_{\text{RMS}}}{I_{\text{RMS}}},\qquad F_{P}=\frac{R}{Z},
e a condição de ressonância (reatâncias se anulam).

Passo 2

A partir de
P_{\text{med}} = V_{\text{RMS}}\,I_{\text{RMS}}\,F_{P},
isolamos a corrente eficaz:
I_{\text{RMS}} = \frac{P_{\text{med}}}{V_{\text{RMS}}\,F_{P}}.

Passo 3

A resistência líquida R satisfaz
P_{\text{med}} = I_{\text{RMS}}^{2}\,R.
Substituindo I_{\text{RMS}} achado no Passo 2:
R = \frac{P_{\text{med}}}{I_{\text{RMS}}^{2}} = \frac{P_{\text{med}}}{\bigl(\frac{P_{\text{med}}}{V_{\text{RMS}}\,F_{P}}\bigr)^{2}} = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}^{2}}{P_{\text{med}}}.

Passo 4

O módulo da impedância total é
Z = \frac{V_{\text{RMS}}}{I_{\text{RMS}}} = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}}{P_{\text{med}}},
e a parte reativa resultante vale
\bigl|X\bigr| = \sqrt{Z^{2} - R^{2}} = Z\,\sqrt{1 - F_{P}^{2}} = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}}{P_{\text{med}}}\,\sqrt{1 - F_{P}^{2}}.

Passo 5

Para obter ressonância em série, a reatância capacitiva do capacitor adicional deve anular \bigl|X\bigr|. Logo, a reatância capacitiva a ser adicionada é
X_{C,\text{add}} = \bigl|X\bigr| = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}}{P_{\text{med}}}\,\sqrt{1 - F_{P}^{2}}.

Resposta

a) \displaystyle R = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}^{2}}{P_{\text{med}}}.
b) \displaystyle X_{C,\text{add}} = \frac{V_{\text{RMS}}^{2}\,F_{P}}{P_{\text{med}}}\,\sqrt{1 - F_{P}^{2}}.

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