Calcule o campo magnético \vec{H} no ponto (3,-6,3) m devido a um elemento de corrente de 2 mm de comprimento, localizado na origem, no espaço livre, e que conduz uma corrente de 16 m A na direção +\vec{a}_{y}.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético \vec{H} num ponto (3,-6,3)\,\text{m} devido a um elemento de corrente de comprimento 2\,\text{mm} localizado na origem, que conduz 16\,\text{mA} no sentido +\vec{a}_y. Vamos usar a lei de Biot–Savart para \vec{H} em espaço livre:
\vec{H} \;=\;\frac{I}{4\pi}\,\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^3}
onde \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é o elemento de comprimento orientado segundo a corrente e \mathbf{r} é o vetor que vai da fonte ao ponto de observação.

Passo 2

Identificamos
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = 2\,\text{mm}\,\vec{a}_y = 2\times10^{-3}\,\vec{a}_y \quad,\quad \mathbf{r} = (3\,\vec{a}_x -6\,\vec{a}_y +3\,\vec{a}_z)\,\text{m}
e a corrente I=16\,\text{mA}=16\times10^{-3}\,\text{A}.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} =2\times10^{-3}\,\bigl(\vec{a}_y\times(3\,\vec{a}_x -6\,\vec{a}_y +3\,\vec{a}_z)\bigr) =2\times10^{-3}\,(3\,\vec{a}_x -3\,\vec{a}_z) =0{,}006\,\vec{a}_x -0{,}006\,\vec{a}_z.

Passo 4

O módulo de \mathbf{r} é
r = \sqrt{3^2 +(-6)^2 +3^2} = \sqrt{54} =3\sqrt{6},
então
r^3 = (3\sqrt{6})^3 =54\,\sqrt{6}.

Passo 5

Substituindo na lei de Biot–Savart para \vec{H}:
\vec{H} =\frac{I}{4\pi}\,\frac{0{,}006\,\vec{a}_x -0{,}006\,\vec{a}_z}{(3\sqrt{6})^3} =\frac{16\times10^{-3}}{4\pi}\, \frac{0{,}006\,(\vec{a}_x -\vec{a}_z)}{54\,\sqrt{6}}.
Fazendo as contas numéricas:
\frac{16\times10^{-3}\times0{,}006}{4\pi\times54\sqrt{6}} \approx1{,}92\times10^{-8}.

Resposta

\vec{H}(3,-6,3) \approx1{,}92\times10^{-8}\,\bigl(\vec{a}_x -\vec{a}_z\bigr)\;\text{A/m}.

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