Dois elementos puros \mathrm{R}=10 \Omega e \mathrm{C}=100 \mu F, em uma ligação paralela, tem para tensão aplicada v(t)=150 \cos \left(5000 t-30^{\circ}\right). Achar a corrente total. R: i_{T}(t)=76,5 \cos \left(5000 t+48,7^{\circ}\right) Amperes

Passo 1

O enunciado dá uma associação paralela de dois elementos puros, com tensão aplicada e pede a corrente total. Dados fornecidos:
  • Resistência: R=10\,\Omega.
  • Capacitância: C=100\,\mu\text{F}=100\times10^{-6}\,\text{F}.
  • Tensão aplicada: v(t)=150\cos\bigl(5000\,t-30^\circ\bigr) volts.
O que é pedido:
  • Determinar a corrente total i_T(t) da associação paralela (ou seja, a soma das correntes pelas duas ramificações) em função do tempo.

Passo 2

Transformar a fonte no domínio fasorial (phasor) e fixar a frequência angular:
  • A frequência angular é \omega=5000 rad/s (vem do argumento \,5000t\, da cossenoidal).
  • O fasor da tensão é a magnitude e a fase da fonte:
V=150\angle -30^\circ\\ \text{V}.
Explicação curta sobre fasores: uma tensão ou corrente senoidal A\cos(\omega t+\varphi) é representada no domínio fasorial por A\angle\varphi. Para somar correntes, trabalha-se com esses fasores (números complexos) e depois volta-se ao domínio do tempo.

Passo 3

Calcular a corrente no ramo da resistência R.
  • Impedância do resistor (elemento puro resistivo) é simplesmente
Z_R=R=10\angle 0^\circ\\ \Omega.
  • A lei de Ohm em fasores diz I_R=\dfrac{V}{Z_R}. Então
I_R=\dfrac{150\angle -30^\circ}{10\angle 0^\circ}=15\angle -30^\circ\\ \text{A}.
Vamos também escrever I_R em forma retangular (para somar depois com a corrente do capacitor). Usamos \cos(-30^\circ)=0,8660254 e \sin(-30^\circ)=-0,5:
I_R=15\bigl(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\bigr)=15(0,8660-j0,5)=12,99-j7,5\\ \text{A}.
Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Explicação: a parte real é a componente em fase, a imaginária a componente em quadratura.

Passo 4

Calcular a corrente no ramo do capacitor C.
  • Impedância do capacitor é
Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}.
Explicando: o capacitor provoca defasagem de -90^\circ na impedância e sua magnitude é 1/(\omega C).
  • Calcular \omega C:
\omega C=5000\cdot 100\times10^{-6}=5000\cdot 0,0001=0,5.
  • Logo a reatância capacitiva (magnitude de Z_C) é
X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{0,5}=2\\ \Omega,
e o ângulo é -90^\circ, então
Z_C=2\angle -90^\circ=-j2\\ \Omega.
  • A corrente no capacitor em fasor é
I_C=\dfrac{V}{Z_C}=\dfrac{150\angle -30^\circ}{2\angle -90^\circ}=75\angle 60^\circ\\ \text{A}.
Observação: a fase ficou -30^\circ -(-90^\circ)=60^\circ, o que indica que a corrente do capacitor está adiantada em relação à tensão (car corrente em capacitor antecipa a tensão).
  • Escrever I_C em retangular usando \cos60^\circ=0,5 e \sin60^\circ=0,8660254:
I_C=75(0,5+j0,8660)=37,5+j64,95\\ \text{A}.

Passo 5

Somar fasores para obter a corrente total no domínio fasorial.
  • Em associação paralela, as correntes se somam: I_T=I_R+I_C.
  • Somando as partes reais e imaginárias (usando os valores retangulares obtidos):
\Re\{I_T\}=12,99+37,5=50,49\\ \text{A},
\Im\{I_T\}=-7,5+64,95=57,45\\ \text{A}.
  • O fasor total é
I_T=50,49+j57,45\\ \text{A}.
  • Agora convertemos para forma polar: a magnitude é
|I_T|=\sqrt{50,49^{2}+57,45^{2}}=\sqrt{5850,1}\approx76,5\\ \text{A},
e a fase (ângulo) é
\angle I_T=\arctan\!\left(\dfrac{57,45}{50,49}\right)\approx 48,7^\circ.
Note: ao calcular a fase, verificar o quadrante pelo sinal das componentes real e imaginária; aqui ambas são positivas, portanto o ângulo está no primeiro quadrante e a arctan direta é adequada.

Passo 6

Voltar ao domínio do tempo (forma real) para apresentar a corrente total solicitada.
  • O fasor total é
I_T=76,5\angle 48,7^\circ\\ \text{A}.
  • A forma no tempo correspondente, usando a mesma frequência da tensão, é
i_T(t)=76,5\cos\bigl(5000\,t+48,7^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Comentário final amigo: resumindo, a corrente do resistor está atrasada -30^\circ e a do capacitor está adiantada 60^\circ; ao somá-las resulta uma corrente total com grande componente capacitiva, por isso o ângulo positivo. Força aí que tu já domina essa receita: transformar para fasores, calcular impedâncias, achar correntes por ramo, somar vetorialmente e voltar pro tempo!

Resposta

i_{T}(t)=76,5\cos\bigl(5000\,t+48,7^\circ\bigr)\\ \text{A}

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