Um circuito RLC em série possui R=5,00 Omega, C=20,0 mu F, L=1,00 H e epsilon=30,0 V. (a) Para que frequência angular a amplitude da corrente é máxima? (b) Qual é o valor máximo da corrente? © Para quais frequências angulares a amplitude da corrente é a metade da corrente máxima? (d) Calcule diferença entre as frequências encontradas no item © para R=10,5,0 e 1,0 Omega. O que podemos dizer da seletividade do circuito nestes três casos?
Dica: observe que você terá uma equação com quatro raízes no item © e apenas duas delas possuem significado físico.
Resposta: (a) 224 rad / s (b) 6,00 A © 219 rad / s e 228 rad / s.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com resistência R=5,00,Omega, capacitância C=20,0,muF, indutância L=1,00,H e tensão de fonte epsilon=30,0,V. Precisamos usar conceitos de ressonância em circuito RLC, resposta em regime senoidal forçado e definição de largura de banda para resolver: (a) frequência de ressonância; (b) corrente máxima; © frequências em que a corrente é metade do pico; (d) calcular a diferença entre essas frequências para três valores de resistência e discutir seletividade.

Passo 2

Em regime senoidal, a impedância do RLC série é Z(omega)=raizR^2+l(omega L-1/(omega C)r)^2. A corrente de amplitude é I(omega)=epsilon/Z(omega). A ressonância ocorre quando a parte imaginária some, isto é omega0L=1/(omega0C), de onde
omega0=1raizLC
Substituindo L=1,0, H e C=20,0times10^-6, F, obtemos
omega0=1raiz1,0times20,0times10^-6approx224,rad/s

Passo 3

No ponto de ressonância a impedância é mínima e igual a R, logo a corrente máxima é
Imax=epsilonR=30,05,00approx6,00, A

Passo 4

Para achar as frequências em que I(omega)=Imax/2, impomos
epsilonraizR^2+(omega L-1/(omega C))^2=12epsilonR

Passo 5

Isso leva a
(omega L-1/(omega C))^2=3R^2

Passo 6

Multiplicando por omega e rearranjando, obtemos a equação quadrática
L,omega^2mp Rraiz3,omega-1C=0

Passo 7

As quatro raízes são
omega=pm Rraiz3pmraiz3R^2+4L/C2L

Passo 8

Dessas, as duas positivas fisicamente relevantes são

Para omega1=raiz3R^2+4L/C-Rraiz32L,omega2=raiz3R^2+4L/C+Rraiz32L, R=5,0,Omega, L=1,0, H, calcula-se numericamente
C=20,0times10^-6, F

Passo 9

A largura de banda é De. Para L=1 e para três valores de R temos:
  • R=1,Omega: De.
  • R=5,Omega: De.
  • R=10,Omega: De.
    Quanto menor R, menor é a largura de banda e mais agudo (seletivo) é o pico de ressonância; aumentando R o circuito fica menos seletivo.

Resposta

(a) 224 rad/s
(b) 6,00 A
© 219 rad/s e 228 rad/s
(d) Largura de banda Δω = (R√3)/L ⇒ Δω≈1,73 rad/s (R=1 Ω), 8,66 rad/s (R=5 Ω), 17,32 rad/s (R=10 Ω). Menor R ⇒ banda mais estreita ⇒ maior seletividade; maior R ⇒ banda mais larga ⇒ menor seletividade.

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