Um circuito RLC - série é projetado para entrar em ressonância em omega0=200000 rad / s, com largura de banda de 0,2 omega0, consome 20 W de potência de uma fonte de 127 V na ressonância. Determine: (b) a largura de banda

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito RLC série que ressoa em uma frequência angular de omega0 = 200.000 , rad/s. A gente sabe que, na ressonância, ele consome 20 W de potência quando conectado a uma fonte de 127 V. O nosso objetivo aqui é determinar a largura de banda desse circuito, que é basicamente a faixa de frequência onde o circuito ainda exibe um comportamento resonante significativo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a resistência R do circuito. Sabemos que na ressonância, a potência P consumida é dada por:
P = V^22R
Aqui, V é a tensão da fonte. Vamos isolar R:
R = V^22P
Substituindo os valores:
R = 127^22 times 20 = 1612940 = 403,225 , Omega

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a largura de banda De com a resistência R e a indutância L do circuito. A largura de banda em um circuito RLC série é dada por:
De
Mas ainda não conhecemos L. Para encontrá-la, usamos a frequência de ressonância omega0, que para um circuito RLC série é:
omega0 = 1raizLC
No entanto, precisamos de mais informações para isolar L. Uma abordagem mais fácil é usar o fator de qualidade Q, que está relacionado tanto à frequência de ressonância quanto à largura de banda:
Q = omega0De
Mas, sem valores de L ou C, vamos simplificar usando outra relação:
A potência na ressonância também está relacionada a Q:
Q = omega0 LR
Todavia, ainda precisamos de L. Para não complicar, vamos considerar que a largura de banda pode ser expressa em termos de R e L diretamente:
De
Mas sem L, precisamos encontrar outra forma.

Passo 4

Vamos reconsiderar a definição de largura de banda em termos da frequência em Hz ( f):
De
E sabemos que, no circuito RLC série, o fator de qualidade Q também pode ser expresso como:
Q = omega0 LR
E a largura de banda De está relacionada com Q por:
De
Mas precisamos achar Q. Sabemos que Q = omega0 LR, mas sem L, vamos usar outra relação para Q:
Q = 1R raizLC
Como estamos sem informações adicionais sobre L ou C, precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos usar a relação entre a potência, a resistência e o fator de qualidade. Sabemos que:
Q = omega0 U^22P R
Não está muito direto. Uma abordagem mais direta é considerar que a largura de banda De é diretamente fornecida como 0,2 vezes omega0. Se a largura de banda é 0,2 omega0, então:
De

Resposta

A largura de banda do circuito é 40.000 , rad/s.

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