Find the energy stored in a uniformly charged solid sphere of radius R and charge q. Do it three different ways:
(a) Use Eq. 2.43. You found the potential in Prob. 2.21.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada com raio R e carga total q. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia do campo elétrico. Para isso, vamos precisar da equação que relaciona energia, densidade de carga e potencial elétrico, e também da expressão do potencial que você já encontrou no Problema 2.21.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a energia armazenada em um campo elétrico. Basicamente, é a energia necessária para montar o campo elétrico a partir de uma distribuição de carga. Essa energia depende de como as cargas estão distribuídas e do potencial elétrico em cada ponto.

Passo 3

A equação que vamos usar aqui é a Eq. 2.43, que diz:
U = 12 integral rho V , dtau
Onde:
  • U é a energia armazenada,
  • rho é a densidade de carga,
  • V é o potencial elétrico,
  • dtau é um elemento de volume.

Passo 4

Vamos agora determinar a densidade de carga rho. Como a carga q está distribuída uniformemente na esfera de raio R, temos:
rho = q43 pi R^3

Passo 5

Com a densidade de carga conhecida, vamos inserir isso na equação da energia:
U = 12 integral ( q43 pi R^3 ) V , dtau

Passo 6

Agora, precisamos do potencial V(r) que encontramos no Problema 2.21. Para uma esfera carregada uniformemente, o potencial dentro da esfera é dado por:
V(r) = q4pi epsilon0 R ( 32 - r^22 R^2 )

Passo 7

Vamos substituir V(r) na equação da energia e integrar sobre todo o volume da esfera. A integração envolve calcular:
U = 12 cdot q43 pi R^3 cdot integral0^R q4pi epsilon0 R ( 32 - r^22 R^2 ) cdot 4pi r^2 , dr

Passo 8

Simplificando a expressão e realizando a integração, chegamos ao resultado final para a energia armazenada:
U = 3 q^220 pi epsilon0 R

Resposta

A energia armazenada na esfera é U = dfrac3 q^220 pi epsilon0 R.

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