Find the energy stored in a uniformly charged solid sphere of radius
and charge
. Do it three different ways:
(a) Use Eq. 2.43. You found the potential in Prob. 2.21.
(a) Use Eq. 2.43. You found the potential in Prob. 2.21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada com raio
e carga total
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia do campo elétrico. Para isso, vamos precisar da equação que relaciona energia, densidade de carga e potencial elétrico, e também da expressão do potencial que você já encontrou no Problema 2.21.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a energia armazenada em um campo elétrico. Basicamente, é a energia necessária para montar o campo elétrico a partir de uma distribuição de carga. Essa energia depende de como as cargas estão distribuídas e do potencial elétrico em cada ponto.
Passo 3
A equação que vamos usar aqui é a Eq. 2.43, que diz:
Onde:
-
é a energia armazenada, -
é a densidade de carga, -
é o potencial elétrico, -
é um elemento de volume.
Passo 4
Vamos agora determinar a densidade de carga
. Como a carga
está distribuída uniformemente na esfera de raio
, temos:
Passo 5
Com a densidade de carga conhecida, vamos inserir isso na equação da energia:
Passo 6
Agora, precisamos do potencial
que encontramos no Problema 2.21. Para uma esfera carregada uniformemente, o potencial dentro da esfera é dado por:
Passo 7
Vamos substituir
na equação da energia e integrar sobre todo o volume da esfera. A integração envolve calcular:
Passo 8
Simplificando a expressão e realizando a integração, chegamos ao resultado final para a energia armazenada:
Resposta
A energia armazenada na esfera é
.