Para um circuito em sequência de fases ABC, onde \dot{V}_{A N}=480 \angle 40^{\circ} V, obtenha as correntes de linha e de fase para uma carga conectada em \Delta, sendo \dot{Z}_{a b}=40 \angle 30^{\circ} \Omega ; \dot{Z}_{b c}=30 \angle-70^{\circ} \Omega e \dot{Z}_{c a}= 50 \angle 60^{\circ} \Omega. Indicar as potências ativa, reativa e aparente calculadas e a potência ativa medida, caso sejam utilizados dois wattímetros.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema trifásico em sequência ABC, tensão fase-neutro de linha A dada por
\dot V_{AN}=480\angle 40^\circ\rm V
e carga em \Delta com impedâncias desbalanceadas \dot Z_{ab}=40\angle 30^\circ\Omega, \dot Z_{bc}=30\angle -70^\circ\Omega, \dot Z_{ca}=50\angle 60^\circ\Omega.
O que precisamos fazer:
1. Calcular as tensões linha-linha \dot V_{ab},\dot V_{bc},\dot V_{ca}.
2. Determinar as correntes de fase da carga em \Delta: \dot I_{ab},\dot I_{bc},\dot I_{ca}.
3. Obter as correntes de linha \dot I_a,\dot I_b,\dot I_c.
4. Calcular as potências ativa P, reativa Q e aparente S absorvidas pela carga.
5. Computar as leituras de dois wattímetros (conexões padrão: W_1 mede \dot V_{ab} e \dot I_a; W_2 mede \dot V_{cb} e \dot I_c) e verificar P=W_1+W_2.

Passo 2

Calcular as tensões linha-linha usando
\dot V_{bN}=480\angle(40^\circ-120^\circ)=480\angle -80^\circ,\quad \dot V_{cN}=480\angle(40^\circ+120^\circ)=480\angle160^\circ
\dot V_{ab}=\dot V_{aN}-\dot V_{bN}=831.5\angle70.4^\circ\rm V
\dot V_{bc}=\dot V_{bN}-\dot V_{cN}=831.9\angle-50.9^\circ\rm V
\dot V_{ca}=\dot V_{cN}-\dot V_{aN}=831.2\angle-170.0^\circ\rm V

Passo 3

Correntes de fase em \Delta:
\dot I_{ab}=\frac{\dot V_{ab}}{\dot Z_{ab}} =\frac{831.5\angle70.4^\circ}{40\angle30^\circ} =20.79\angle40.4^\circ\rm A
\dot I_{bc}=\frac{\dot V_{bc}}{\dot Z_{bc}} =\frac{831.9\angle-50.9^\circ}{30\angle-70^\circ} =27.73\angle19.1^\circ\rm A
\dot I_{ca}=\frac{\dot V_{ca}}{\dot Z_{ca}} =\frac{831.2\angle-170.0^\circ}{50\angle60^\circ} =16.62\angle130.0^\circ\rm A

Passo 4

Correntes de linha (direção positiva saindo do nó de soma das correntes de fase):
\dot I_a=\dot I_{ab}-\dot I_{ca} =26.52\angle1.66^\circ\rm A
\dot I_b=\dot I_{bc}-\dot I_{ab} =11.35\angle-23.4^\circ\rm A
\dot I_c=\dot I_{ca}-\dot I_{bc} =37.12\angle185.8^\circ\rm A

Passo 5

Potências por ramo ( P_{xy}=V_{xy}I_{xy}\cos\varphi_{xy}, Q_{xy}=V_{xy}I_{xy}\sin\varphi_{xy}, com \varphi_{xy}= ângulo de \dot V_{xy} menos ângulo de \dot I_{xy}):
P_{ab}=831.5\cdot20.79\cos(-30^\circ)=14.99\rm\\ kW,\quad Q_{ab}=831.5\cdot20.79\sin(-30^\circ)=-8.64\rm\\ kVAr
P_{bc}=831.9\cdot27.73\cos(-70^\circ)=7.89\rm\\ kW,\quad Q_{bc}=831.9\cdot27.73\sin(-70^\circ)=-21.70\rm\\ kVAr
P_{ca}=831.2\cdot16.62\cos(60^\circ)=6.92\rm\\ kW,\quad Q_{ca}=831.2\cdot16.62\sin(60^\circ)=11.96\rm\\ kVAr
Somando:
P=P_{ab}+P_{bc}+P_{ca}=14.99+7.89+6.92=29.80\rm\\ kW
Q=Q_{ab}+Q_{bc}+Q_{ca}=-8.64-21.70+11.96=-18.38\rm\\ kVAr
S=\sqrt{P^2+Q^2}=35.15\rm\\ kVA

Passo 6

Leituras de wattímetros (padrão:
W_1=\Re\{\dot V_{ab}\,\dot I_a^*\},
W_2=\Re\{\dot V_{cb}\,\dot I_c^*\} com \dot V_{cb}=\dot V_{cN}-\dot V_{bN}):
W_1=\Re\{(831.5\angle70.4^\circ)\,(26.52\angle1.66^\circ)^*\} \approx8.14\rm\\ kW
W_2=\Re\{(831.8\angle129.1^\circ)\,(37.12\angle185.8^\circ)^*\} \approx22.11\rm\\ kW
W_1+W_2\approx8.14+22.11=30.25\rm\\ kW\approx P\\ (\text{diferenças por arred.})ç

Resposta

Correntes de linha:
\dot I_a=26.52\angle1.66^\circ\rm A,\;\dot I_b=11.35\angle-23.4^\circ\rm A,\;\dot I_c=37.12\angle185.8^\circ\rm A.
Correntes de fase ( \Delta):
\dot I_{ab}=20.79\angle40.4^\circ\rm A,\;\dot I_{bc}=27.73\angle19.1^\circ\rm A,\;\dot I_{ca}=16.62\angle130.0^\circ\rm A.
Potências:
P=29.80\rm\\ kW,\;Q=-18.38\rm\\ kVAr\;(capacit.\!),\;S=35.15\rm\\ kVA.
Wattímetros:
W_1\approx8.14\rm\\ kW,\;W_2\approx22.11\rm\\ kW,\;W_1+W_2\approx30.25\rm\\ kW\approx P.

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