Um sistema ABC trifásico a quatro condutores, 208 V , tensão V_{B C} como referência, alimenta uma carga em estrela onde \dot{Z}_{A}=10 \angle 0^{\circ} \Omega, \dot{Z}_{B}=15 \angle 30^{\circ} \Omega e \dot{Z}_{C}=10 \angle-30^{\circ} \Omega. Determinar as correntes de linha, a corrente do neutro e as potências trifásicas (ativa, reativa e aparente).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico de quatro condutores com tensão de linha V_{BC}=208\angle0^\circ\text{ V} alimentando carga em estrela (neutro acessível) cujos impedâncias são
\dot Z_A=10\angle0^\circ\\ \Omega,\quad \dot Z_B=15\angle30^\circ\\ \Omega,\quad \dot Z_C=10\angle-30^\circ\\ \Omega.
O objetivo é encontrar as correntes de linha \dot I_A,\dot I_B,\dot I_C, a corrente do neutro \dot I_N e as potências trifásicas ativa P, reativa Q e aparente S. Vamos usar teoria de fase em sistema desbalanceado, relações entre tensões de linha e fase em sequência positiva e fórmulas de potência em cada fase.

Passo 2

Como a fonte é equilibrada e de sequência positiva, temos
\dot V_{BC}=\dot V_{BN}-\dot V_{CN}=\sqrt{3}\,\dot V_{f}\,\angle-90^\circ.
Igualando a 208\angle0^\circ, obtemos o módulo da tensão de fase
|\dot V_{f}|=\frac{208}{\sqrt3}\approx120{,}1\text{ V},
e como o ângulo de \dot V_{BC} ficou em 0^\circ, a fase \dot V_f deve ter ângulo +90^\circ. Logo as tensões de fase são
\dot V_{AN}=120{,}1\angle90^\circ\text{ V},\quad \dot V_{BN}=120{,}1\angle(-30^\circ)\text{ V},\quad \dot V_{CN}=120{,}1\angle(-150^\circ)\text{ V}.

Passo 3

As correntes de fase vêm de \dot I_k=\dot V_{kN}/\dot Z_k. Assim:
\dot I_A=\frac{120{,}1\angle90^\circ}{10\angle0^\circ} =12{,}01\angle90^\circ\text{ A},
\dot I_B=\frac{120{,}1\angle(-30^\circ)}{15\angle30^\circ} =8{,}01\angle(-60^\circ)\text{ A},
\dot I_C=\frac{120{,}1\angle(-150^\circ)}{10\angle(-30^\circ)} =12{,}01\angle(-120^\circ)\text{ A}.

Passo 4

A corrente do neutro é a soma das correntes de fase (ley de Kirchhoff no nó do neutro):
\dot I_N=\dot I_A+\dot I_B+\dot I_C.
Em forma retangular:
\dot I_A=0+j12{,}01,\quad \dot I_B=4{,}005-j6{,}94,\quad \dot I_C=-6{,}005-j10{,}41
\Rightarrow\dot I_N=(-2{,}00)-j5{,}34
|\dot I_N|\approx5{,}70\text{ A},\quad \angle\dot I_N=\tan^{-1}\!\frac{-5{,}34}{-2{,}00}\approx-110{,}9^\circ.

Passo 5

A potência em cada fase é
P_k=|V_{kN}|\;|I_k|\;\cos\bigl(\phi_{V_k}-\phi_{I_k}\bigr), \quad Q_k=|V_{kN}|\;|I_k|\;\sin\bigl(\phi_{V_k}-\phi_{I_k}\bigr).
Calculando:
fase A: |V|\,|I|=120{,}1\cdot12{,}01, \phi_V-\phi_I=90^\circ-90^\circ=0\Rightarrow P_A=1442\text{ W},\,Q_A=0.
fase B: |V|\,|I|=120{,}1\cdot8{,}01=962{,}4, \phi_V-\phi_I=-30^\circ-(-60^\circ)=30^\circ
\Rightarrow P_B=962{,}4\cos30^\circ\approx833{,}9\text{ W},\;Q_B=962{,}4\sin30^\circ\approx481{,}2\text{ VAr}.
fase C: |V|\,|I|=120{,}1\cdot12{,}01=1442, \phi_V-\phi_I=-150^\circ-(-120^\circ)=-30^\circ
\Rightarrow P_C=1442\cos(-30^\circ)\approx1248{,}9\text{ W},\;Q_C=1442\sin(-30^\circ)\approx-721{,}0\text{ VAr}.
Somando fases:
P=P_A+P_B+P_C\approx1442+833{,}9+1248{,}9=3524{,}8\text{ W},
Q=Q_A+Q_B+Q_C=0+481{,}2-721{,}0=-239{,}8\text{ VAr}.

Passo 6

A potência aparente trifásica é
\dot S=P+jQ=3524{,}8 - j239{,}8\text{ VA}, \quad |\dot S|=\sqrt{P^2+Q^2}\approx3533{,}7\text{ VA}.

Resposta

\displaystyle\dot I_A=12{,}01\angle90^\circ\text{ A},\quad \dot I_B=8{,}01\angle(-60^\circ)\text{ A},\quad \dot I_C=12{,}01\angle(-120^\circ)\text{ A}.
\displaystyle\dot I_N=5{,}70\angle(-110{,}9^\circ)\text{ A}.
\displaystyle P=3524{,}8\text{ W},\quad Q=-239{,}8\text{ VAr},\quad S=3533{,}7\text{ VA}.

Exercícios relacionados