Em um sistema trifásico composto por gerador equilibrado e carga em estrela, o gerador apresenta um conjunto de tensões na sequência positiva com \dot{V}_{A N}=120 \angle 60^{\circ} V. A impedância da carga, por fase, é de \dot{Z}_{A}=12+j 16 \Omega, \dot{Z}_{B}=6 \Omega, \dot{Z}_{C}=-j 16 \Omega, conexão em estrela a quatro fios. Se a impedância dos condutores de linha é de 0,8+j 1,4 \Omega, determine as correntes de linha, a corrente de neutro e as tensões de fase na carga.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema trifásico de sequência positiva, com tensões de gerador equilibrado em estrela e carga em estrela a quatro fios. Temos:
\dot{V}_{AN} = 120 \angle 60^\circ \text{ V},\quad \dot{V}_{BN} = 120 \angle (60^\circ - 120^\circ) = 120 \angle (-60^\circ) \text{ V},\quad \dot{V}_{CN} = 120 \angle (60^\circ + 120^\circ) = 120 \angle 180^\circ \text{ V}.
A carga é não equilibrada, com impedâncias de fase
\dot{Z}_A = 12 + j16, \Omega, \dot{Z}_B = 6, \Omega, \dot{Z}_C = -j16, \Omega, e cada fase está ligada ao gerador por um condutor de impedância \dot{Z}_{\rm linha} = 0,8 + j1,4, \Omega. Vamos calcular as correntes de linha, a corrente de neutro e as tensões de fase na carga usando análise fasorial por fase.

Passo 2

Para cada fase definimos a impedância total em série:
\dot Z_{A,\rm tot}=\dot Z_A+\dot Z_{\rm linha} = (12+j16)+(0,8+j1,4)=12,8+j17,4\;\Omega,
\dot Z_{B,\rm tot}=\dot Z_B+\dot Z_{\rm linha} =6+(0,8+j1,4)=6,8+j1,4\;\Omega,
\dot Z_{C,\rm tot}=\dot Z_C+\dot Z_{\rm linha} =(-j16)+(0,8+j1,4)=0,8-j14,6\;\Omega.
As correntes de linha são
\dot I_A=\frac{\dot V_{AN}}{\dot Z_{A,\rm tot}},\quad \dot I_B=\frac{\dot V_{BN}}{\dot Z_{B,\rm tot}},\quad \dot I_C=\frac{\dot V_{CN}}{\dot Z_{C,\rm tot}}.
Calculando numericamente:
|\dot Z_{A,\rm tot}|=\sqrt{12,8^2+17,4^2}\approx21,6,\quad \angle Z_{A,\rm tot}=\arctan\frac{17,4}{12,8}\approx53,7^\circ,
\dot I_A=\frac{120\angle60^\circ}{21,6\angle53,7^\circ} \approx5,56\angle(60^\circ-53,7^\circ)=5,56\angle6,3^\circ\;\text{A}.
|\dot Z_{B,\rm tot}|=\sqrt{6,8^2+1,4^2}\approx6,94,\quad \angle Z_{B,\rm tot}=\arctan\frac{1,4}{6,8}\approx11,6^\circ,
\dot I_B=\frac{120\angle(-60^\circ)}{6,94\angle11,6^\circ} \approx17,29\angle(-60^\circ-11,6^\circ)=17,29\angle(-71,6^\circ)\;\text{A}.
|\dot Z_{C,\rm tot}|=\sqrt{0,8^2+(-14,6)^2}\approx14,62,\quad \angle Z_{C,\rm tot}=\arctan\frac{-14,6}{0,8}\approx-88,7^\circ,
\dot I_C=\frac{120\angle180^\circ}{14,62\angle(-88,7^\circ)} \approx8,21\angle(180^\circ-(-88,7^\circ))=8,21\angle268,7^\circ\;(=-91,3^\circ)\;\text{A}.

Passo 3

A corrente de neutro é a soma algébrica das correntes de fase (convenção de correntes saindo da carga):
\dot I_N=-(\dot I_A+\dot I_B+\dot I_C).
Convertendo cada corrente para retangular e somando:
\dot I_A=5,53+j0,61, \dot I_B=5,47-j16,40, \dot I_C=-0,19-j8,21.
Logo
\dot I_A+\dot I_B+\dot I_C=(5,53+5,47-0,19)+j(0,61-16,40-8,21) =10,81 - j24,00
\dot I_N=-(10,81 - j24,00)=-10,81 + j24,00 \quad\Longrightarrow\quad |\dot I_N|\approx26,3\angle114,9^\circ\;\text{A}.

Passo 4

As tensões de fase na carga são as tensões de gerador menos a queda no condutor:
\dot V_{A'N}=\dot V_{AN}-\dot Z_{\rm linha}\,\dot I_A,\quad \dot V_{B'N}=\dot V_{BN}-\dot Z_{\rm linha}\,\dot I_B,\quad \dot V_{C'N}=\dot V_{CN}-\dot Z_{\rm linha}\,\dot I_C.
Calculando cada queda \dot Z_{\rm linha}\dot I_k e subtraindo de \dot V_{kN}, obtém-se numericamente:
\dot V_{A'N}\approx111,1\angle59,0^\circ\;\text{V}, \quad \dot V_{B'N}\approx126,0\angle(-51,8^\circ)\;\text{V}, \quad \dot V_{C'N}\approx131,5\angle177,0^\circ\;\text{V}.

Resposta

\dot{I}_A = 5,56 \angle 6,3^\circ;A
\dot{I}_B = 17,29 \angle (-71,6^\circ);A
\dot{I}_C = 8,21 \angle (-91,3^\circ);A
\dot{I}_N = 26,3 \angle 114,9^\circ;A
\dot{V}_{A'N} = 111,1 \angle 59,0^\circ;V
\dot{V}_{B'N} = 126,0 \angle (-51,8^\circ);V
\dot{V}_{C'N} = 131,5 \angle 177,0^\circ;V

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