Um circuito série V=100 L 0^{0} V e três impedâncias ligas em série: z_{1}=5 L 30^{0} \Omega, z_{2}= 4 \mathrm{~L} 60^{\circ} \Omega e \mathrm{z}_{3}=10 \mathrm{~L}-20^{\circ} \Omega. Determinar as quedas de tensão \mathrm{V}_{1}, \mathrm{~V}_{2} e \mathrm{V}_{3}. Demonstrar fasoriamente, que a soma de V_{1}, V_{2} e V_{3} é igual à tensão da fonte: V=100 L 0^{0} V.

Passo 1

O enunciado dá uma fonte e três impedâncias em série e pede as quedas de tensão em cada impedância e que se demonstre fasorialmente que a soma dessas quedas é a tensão da fonte.
Informações fornecidas:
V=100\angle 0^\circ\\ \text{V}
z_{1}=5\angle 30^\circ\\ \Omega,\quad z_{2}=4\angle 60^\circ\\ \Omega,\quad z_{3}=10\angle (-20^\circ)\\ \Omega
Perguntas:
  1. Determinar \;V_{1},\;V_{2},\;V_{3} (as quedas de tensão sobre z_1,z_2,z_3).
  2. Demonstrar fasorialmente que \;V_1+V_2+V_3=V.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática e passo a passo):
  • Representação polar e retangular: uma fasor A\angle\theta pode ser convertida para retangular por
A\angle\theta = A(\cos\theta + j\sin\theta).
Aqui A é a magnitude e \theta o ângulo em graus; j é a unidade imaginária. Converter para retangular facilita soma de impedâncias e multiplicações por soma de termos reais e imaginários.
  • Soma de impedâncias em série: somamos em retangular (soma componente real com real e imaginária com imaginária).
  • Lei de Ohm em domínio fasorial: \;I=\dfrac{V}{Z}. Se estivermos com forma polar, dividimos magnitudes e subtraímos ângulos:
\frac{A\angle\alpha}{B\angle\beta}=\frac{A}{B}\angle(\alpha-\beta).
  • Queda de tensão em uma impedância: \;V_k = I\cdot z_k. Em polar, multiplicamos magnitudes e somamos ângulos.
Agora convertemos cada impedância para retangular (mostrando contas):
z_1=5\angle 30^\circ = 5(\cos30^\circ + j\sin30^\circ)=5\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+j\tfrac{1}{2}\right)
z_1 \approx 4{,}330127 + j\,2{,}5\\ \Omega
z_2=4\angle 60^\circ = 4(\cos60^\circ + j\sin60^\circ)=4\left(\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
z_2 \approx 2 + j\,3{,}464102\\ \Omega
z_3=10\angle(-20^\circ)=10(\cos(-20^\circ) + j\sin(-20^\circ))
z_3 \approx 9{,}396926 - j\,3{,}420201\\ \Omega
Expliquei como obtive cada componente: calculei \cos e \sin dos ângulos e multipliquei pela magnitude.

Passo 3

Somamos as impedâncias em retangular para obter a impedância total em série:
Z = z_1+z_2+z_3
Somando as partes reais:
\Re(Z)=4{,}330127 + 2 + 9{,}396926 = 15{,}727053
Somando as partes imaginárias:
\Im(Z)=2{,}5 + 3{,}464102 - 3{,}420201 = 2{,}543901
Logo
Z \approx 15{,}727053 + j\,2{,}543901\\ \Omega.
Convertemos Z para forma polar (para usar divisão de fasores):
|Z|=\sqrt{15{,}727053^{2}+2{,}543901^{2}}\approx 15{,}93\\ \Omega
\angle Z = \arctan\!\left(\dfrac{2{,}543901}{15{,}727053}\right)\approx 9{,}22^\circ
Assim
Z \approx 15{,}93\angle 9{,}22^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Aplicamos a lei de Ohm fasorial para encontrar a corrente do circuito (mesma corrente nas três impedâncias, por serem série):
I=\dfrac{V}{Z}=\dfrac{100\angle 0^\circ}{15{,}93\angle 9{,}22^\circ}=\dfrac{100}{15{,}93}\angle(0^\circ-9{,}22^\circ).
Calculando:
|I|\approx 6{,}277\\ \text{A},\qquad \angle I \approx -9{,}22^\circ.
Portanto
I \approx 6{,}277\angle (-9{,}22^\circ)\\ \text{A}.
Para facilitar multiplicações com as impedâncias já em retangular, também escrevemos I em retangular (multiplicando magnitude por \cos e \sin):
I \approx 6{,}197 - j\,1{,}002\\ \text{A}.
(Ver: 6{,}277\cos(-9{,}22^\circ)\approx 6{,}197 e 6{,}277\sin(-9{,}22^\circ)\approx -1{,}002.)

Passo 5

Calcular as quedas de tensão \;V_k=I\cdot z_k — vamos fazer em polar para mostrar regra de multiplicação e também em retangular para somar e verificar.
Usando polar (fácil e direto):
  • Para z_1=5\angle 30^\circ:
V_1 = I\cdot z_1 \Rightarrow |V_1|=6{,}277\cdot 5=31{,}386,\quad \angle V_1 = -9{,}22^\circ + 30^\circ = 20{,}78^\circ.
V_1 \approx 31{,}386\angle 20{,}78^\circ\\ \text{V}.
  • Para z_2=4\angle 60^\circ:
V_2 = I\cdot z_2 \Rightarrow |V_2|=6{,}277\cdot 4=25{,}108,\quad \angle V_2 = -9{,}22^\circ + 60^\circ = 50{,}78^\circ.
V_2 \approx 25{,}108\angle 50{,}78^\circ\\ \text{V}.
  • Para z_3=10\angle (-20^\circ):
V_3 = I\cdot z_3 \Rightarrow |V_3|=6{,}277\cdot 10=62{,}77,\quad \angle V_3 = -9{,}22^\circ + (-20^\circ) = -29{,}22^\circ.
V_3 \approx 62{,}77\angle (-29{,}22^\circ)\\ \text{V}.
Se preferir ver em retangular (útil para verificar soma): já tínhamos I\approx 6{,}197 - j\,1{,}002.
Multiplicando I por cada z_k em retangular (uso a fórmula (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)) obtemos:
V_1 \approx 29{,}323 + j\,11{,}154\\ \text{V}\quad\Rightarrow\quad |V_1|\approx 31{,}386,\\ \angle 20{,}78^\circ,
V_2 \approx 15{,}864 + j\,19{,}448\\ \text{V}\quad\Rightarrow\quad |V_2|\approx 25{,}108,\\ \angle 50{,}78^\circ,
V_3 \approx 54{,}804 - j\,30{,}599\\ \text{V}\quad\Rightarrow\quad |V_3|\approx 62{,}77,\\ \angle -29{,}22^\circ.
Expliquei as duas formas: polar (multiplica magnitude, soma ângulo) e retangular (produto com regra de complexos). Ambas dão os mesmos resultados numéricos.

Passo 6

Demonstração fasorial (soma) de que as quedas somam a tensão da fonte: somamos os componentes retangulares de V_1,V_2,V_3.
Somando as partes reais:
\Re(V_1+V_2+V_3)=29{,}323 + 15{,}864 + 54{,}804 \approx 99{,}991 \approx 100
Somando as partes imaginárias:
\Im(V_1+V_2+V_3)=11{,}154 + 19{,}448 - 30{,}599 \approx 0{,}003 \approx 0
Portanto
V_1+V_2+V_3 \approx 100 + j\,0 \approx 100\angle 0^\circ\\ \text{V},
que é exatamente a tensão da fonte V. Isso confirma fasorialmente que as quedas somam a tensão da fonte em um circuito série (princípio da conservação de energia/tensão).

Resposta

V_{1}=31{,}386\angle 20{,}78^\circ\\ \text{V}\n
V_{2}=25{,}108\angle 50{,}78^\circ\\ \text{V}\n
V_{3}=62{,}77\angle -29{,}22^\circ\\ \text{V}

Exercícios relacionados