Um circuito em série contém um resistor com R=40 Omega, um indutor com L=2 H, um capacitor com C=0,0025 F, e uma pilha de 12 V . A carga inicial é Q=0,01 C e a corrente inicial é 0 . Encontre a carga no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC forçado por uma fonte constante de 12:V, com as grandezas iniciais de carga e corrente em t=0 dadas por Q(0)=0,01:C e I(0)=0. O que precisamos aqui é montar a equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t), encontrar a solução geral (soma da parte homogênea e da particular) e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevendo a equação de Kirchhoff de tensão, temos
L,d^2qdt^2+R,dqdt+1C,q=E,
onde L=2:H, R=40:Omega, C=0,0025:F e E=12:V. Dividindo tudo por L, obtemos
d^2qdt^2+20,dqdt+200,q=6

Passo 3

Para achar a solução particular qp, suponha qp=K constante. Então qp''=0 e qp'=0, e a equação vira
200,K=6 Longrightarrow K=6200=0,03

Passo 4

A parte homogênea satisfaz
q''+20,q'+200,q=0,
com equação característica
r^2+20,r+200=0 Longrightarrow r=-10pm10,i
Logo a solução homogênea é
qh(t)=e^-10tl(Acos(10t)+Bsin(10t)r)
A solução geral é
q(t)=qp+qh(t)=0,03+e^-10tl(Acos(10t)+Bsin(10t)r)

Passo 5

Impondo q(0)=0,01 e I(0)=q'(0)=0:
  1. q(0)=0,01
0,01=0,03+A Longrightarrow A=-0,02
  1. Calculando
q'(t)=e^-10tl(10(B-A)cos(10t)-10(A+B)sin(10t)r),
temos q'(0)=10(B-A)=0, logo B=A=-0,02.

Passo 6

Substituindo A e B, a solução completa fica
q(t)=0,03-0,02,e^-10tl(cos(10t)+sin(10t)r)(em coulombs)

Resposta

q(t)=0,03-0,02,e^-10tl(cos(10t)+sin(10t)r),

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