Use séries de potências para resolver o problema de valor inicial.
Use a série de potência para resolver a equação
y^prime prime-x y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via séries de potências centradas em x=0, a equação diferencial
y''-x,y'-2y=0
O conteúdo é o método de séries de potências: supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
determinar uma relação de recorrência para os coeficientes an e depois usar as condições iniciais (que ficam a0=y(0) e a1=y'(0)).

Passo 2

Escrevemos as séries de y',y'' em potências de x:
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo em
y''-x,y'-2y=0
recebemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=1^inftyn,anx^n -2sumn=0^inftyanx^n =0
Reindexando o segundo somatório para começar em n=0 (note que o termo n=0 ali é zero) e agrupando, surge
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-(n+2)anr]x^n=0
Daí a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2-(n+2)an=0 ;;Longrightarrow;; an+2=ann+1

Passo 4

Como a relação liga an+2 a an, separam-se termos pares e ímpares.
Para n=2m:
a2m+2=a2m2m+1,
o que iterado dá
a2m =a01cdot3cdot5cdots(2m-1) =a0(2m-1)!!
Para n=2m+1:
a2m+3=a2m+12m+2,
de onde
a2m+1 =a12cdot4cdot6cdots(2m) =a1(2m)!!

Passo 5

Reagrupando em duas séries, a solução geral em torno de x=0 é
y(x) =a0summ=0^inftyx^2m(2m-1)!! ;+; a1summ=0^inftyx^2m+1(2m)!!,
onde a0=y(0) e a1=y'(0).

Resposta

boxedy(x) =y(0),summ=0^inftyx^2m(2m-1)!! ;+; y'(0),summ=0^inftyx^2m+1(2m)!!

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