Use séries de potências para resolver o problema de valor inicial.
Use a série de potência para resolver a equação
Use a série de potência para resolver a equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via séries de potências centradas em
, a equação diferencial
O conteúdo é o método de séries de potências: supor
determinar uma relação de recorrência para os coeficientes
e depois usar as condições iniciais (que ficam
e
).
Passo 2
Escrevemos as séries de
em potências de
:
Passo 3
Substituindo em
recebemos
Reindexando o segundo somatório para começar em
(note que o termo
ali é zero) e agrupando, surge
Daí a relação de recorrência
Passo 4
Como a relação liga
a
, separam-se termos pares e ímpares.
Para :
Para
o que iterado dá
Para
:
de onde
Passo 5
Reagrupando em duas séries, a solução geral em torno de
é
onde
e
.